Mathématiques

L’essentiel

• Fractions : a/b avec b non nul ; égales si les produits en croix sont égaux (a × d = b × c). On simplifie jusqu’à la fraction irréductible (48/120 = 2/5). Pour additionner, même dénominateur d’abord ; diviser, c’est multiplier par l’inverse.
• Parallèle : 1/R = 1/R₁ + 1/R₂, soit R = R₁R₂/(R₁ + R₂). 40 Ω et 120 Ω donnent 30 Ω, moins que la plus petite résistance.
• Puissances : aⁿ × a^p = a^n+p ; aⁿ / a^p = a^n−p ; (aⁿ)^p = a^np ; a⁰ = 1 ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ. 10⁻³ = 0,001 n’est pas négatif.
• Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 (23 500 A = 2,35 × 10⁴ A). Préfixes G (10⁹), M (10⁶), k (10³), m (10⁻³), µ (10⁻⁶) ; 1 mm² = 10⁻⁶ m² ; 1 kWh = 3,6 × 10⁶ J. Toujours vérifier l’ordre de grandeur.
• Proportion p = partie / tout ; en % (× 100) ou en ‰ (× 1 000). Même référence : on additionne. Pourcentage de pourcentage : on multiplie (10 % de 18 % = 1,8 %).
• Évolution : t = (V₁ − V₀)/V₀ ; V₁ = V₀ × (1 + t). Successives : on multiplie les coefficients ; réciproque : coefficient 1/CM ; taux moyen sur 2 périodes : 1 + t_m = √CM.
• Indice base 100 : I_n = V_n / V₀ × 100 ; taux depuis la référence = I/100 − 1 ; entre deux dates = I₂/I₁ − 1.
• Bases : poids = puissances de la base. Base 60 : 1 h = 60 min, 1° = 60′. Binaire : octet de 8 bits, poids 1 à 128, valeurs 0 à 255 ; 1 + 1 = 10₂. Hexadécimal : chiffres 0 à F ; un chiffre = un quartet.
• Romains : I, V, X, L, C, D, M ; système additif avec IV, IX, XL, XC, CD, CM (MCMXCIV = 1994).

Les définitions clés

• Fraction : s’écrit a/b, où a et b sont deux nombres et b n’est pas nul.
• Ordre de grandeur : la puissance de dix la plus proche de ce nombre.
• Taux moyen : le taux qui, appliqué deux fois de suite, donne le même coefficient.
• Bit : un chiffre qui vaut 0 ou 1 ; octet : un groupe de 8 bits.
• Code BCD : code chaque chiffre décimal séparément sur 4 bits ; code Gray : deux nombres consécutifs ne diffèrent que d’un seul bit.

Méthodes

Calculer en notation scientifique : mantisses d’un côté, puissances de dix de l’autre. Câble de 25 m et 1,5 mm² : (4,3 × 10⁻⁷) / (1,5 × 10⁻⁶) = 2,867 × 10⁻¹ Ω, soit R ≈ 0,287 Ω.

Enchaîner deux évolutions : +12,5 % puis −4 % : CM = 1,125 × 0,96 = 1,08, soit +8 % ; taux moyen : √1,08 ≈ 1,0392, soit environ +3,92 % par an.

Convertir en binaire : soustraire les poids (178 − 128 = 50 ; 50 − 32 = 18 ; 18 − 16 = 2 ; 2 − 2 = 0, d’où 1011 0010) ou diviser par 2 en lisant les restes du dernier au premier (13 = 1101₂). Vers l’hexadécimal, découper en quartets à partir de la droite : 1011 0010₂ = B2₁₆.

Convertir une durée : partie décimale × 60 (3,45 h = 3 h 27 min) ; minutes ÷ 60 (2 h 45 min = 2,75 h).

Les 3 pièges à éviter

1. Additionner des taux successifs : +12,5 % puis −4 % ne donnent pas +8,5 % ; toujours demander « pour cent de quoi ? ».
2. Soustraire des indices pour obtenir un taux : on divise (I₂ / I₁ − 1).
3. Lire 3,45 h comme 3 h 45 min : 0,45 h × 60 = 27 min.