1. Pourquoi bien calculer
Un électrotechnicien calcule tous les jours : courants, résistances, puissances, énergies, coûts. Une erreur de virgule ou de pourcentage peut faire choisir un câble trop petit ou fausser un devis. Ce chapitre reprend les outils de calcul de base avec des exemples du métier.
AInès et sa première note de calcul
Inès Morand est en 2e année de BTS Électrotechnique. Elle fait son stage au bureau d’études de Calvérac Électricité, une entreprise d’électricité industrielle et tertiaire du Mans. Le responsable du bureau d’études, Antoine Rivaud, relit ses calculs avant chaque envoi à un client.
Un matin, il lui rend une feuille couverte de remarques au stylo rouge :
- « Tu as écrit 0,0172 × 25 / 1,5 = 2,87 Ω. Il manque une puissance de dix : c’est 0,287 Ω. »
- « Les deux résistances en parallèle ne font pas 160 Ω : additionne les fractions 1/40 et 1/120, pas les résistances. »
- « Une hausse de 12,5 % puis une baisse de 4 % ne donnent pas +8,5 %. »
- « Le module d’entrées de l’automate (l’ordinateur industriel qui commande la ligne) affiche 1011 0010 : ce n’est pas un nombre décimal, c’est un octet écrit en binaire. »
Aucune de ces erreurs ne vient de l’électricité : toutes viennent du calcul.
BCe que tu vas apprendre
| Partie | Ce que tu sauras faire |
|---|---|
| 2 | simplifier, comparer et calculer des fractions |
| 3 | calculer avec les puissances de dix et la notation scientifique |
| 4 | calculer une proportion, un pourcentage, un pourcentage de pourcentage |
| 5 | calculer un taux d’évolution, enchaîner des évolutions, lire un indice |
| 6 | écrire un nombre en base 10, 2, 16 ou 60, et en chiffres romains |
Ce que le programme te demande
Le module « Calcul et numération » de ton programme vise à réactiver les savoirs de calcul fondamentaux. Il a deux volets : le calcul (fractions, puissances, pourcentages, évolutions, indices) et la numération (bases 10, 2, 16 et 60, chiffres romains).
Il est évalué dans la situation 1 du contrôle en cours de formation (CCF) de l’épreuve E3, avant la fin de la 1re année.
CL’épreuve E3 en quelques mots
L’épreuve E3 Mathématiques a un coefficient 2. En CCF, elle comporte deux situations de 55 minutes, notées chacune sur 10 : un ou deux exercices dans un contexte d’électrotechnique, avec toutes les informations techniques utiles. Au moins une question se traite avec un logiciel (tableur) ou une calculatrice : tu montres ta démarche à l’examinateur et tu reportes tes résultats sur une fiche. L’exercice 10 suit ce format.
La calculatrice calcule vite, mais elle ne sait pas si tu as tapé la bonne formule. Pose d’abord la formule, remplace les valeurs avec leurs unités, puis vérifie l’ordre de grandeur du résultat : un courant de 2 000 A dans une bobine de relais est une erreur de saisie, pas un résultat.
2. Les fractions
Une fraction est une division que l’on n’a pas encore faite. En électricité, on en rencontre partout : un pont diviseur prend « les deux cinquièmes » d’une tension, des résistances en parallèle s’additionnent par leurs inverses. Savoir calculer avec des fractions évite d’arrondir trop tôt.
ALe vocabulaire de base
À quoi ça sert : une fraction donne un résultat exact, là où l’écriture décimale est parfois arrondie (1/3 = 0,333…, avec une infinité de 3).
Fraction
Une fraction s’écrit a/b, où a et b sont deux nombres et b n’est pas nul. Le nombre du haut, a, est le numérateur ; le nombre du bas, b, est le dénominateur. La fraction a/b est le résultat de la division de a par b.
Un entier est une fraction particulière : 24 = 24/1.
Exemple — Le transformateur. Celui des Papeteries Ternevault abaisse la tension de 20 000 V à 410 V à vide. Le rapport des tensions est la fraction 410/20 000 = 0,0205 : un peu plus de 2 centièmes.
BLe signe d’une fraction
Une fraction est négative si le numérateur et le dénominateur sont de signes contraires, positive s’ils ont le même signe. Le signe moins peut se placer devant, en haut ou en bas :
- −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4) ;
- (−6)/(−8) = 6/8 = 3/4, car « moins divisé par moins donne plus ».
Changer le signe d’une fraction, c’est changer le signe du numérateur ou du dénominateur, pas des deux.
CQuand une fraction est-elle nulle ?
Une fraction est nulle quand son numérateur est nul (et son dénominateur ne l’est pas) : 0/7 = 0. Le dénominateur, lui, ne peut jamais être nul : 7/0 n’a pas de sens. Ainsi, I = U/R n’a pas de sens pour R = 0 ; dans la réalité, la résistance d’un court-circuit n’est jamais tout à fait nulle et le courant est très grand, mais fini (chapitre U4-01).
DDeux fractions égales
La règle. Deux fractions a/b et c/d sont égales quand leurs produits en croix sont égaux : a × d = b × c.
Exemple. 15/25 et 3/5 : 15 × 5 = 75 et 25 × 3 = 75. Les produits sont égaux, donc 15/25 = 3/5.
ESimplifier une fraction
À quoi ça sert : une fraction simplifiée se lit et se manipule plus facilement ; un résultat se donne simplifié.
Simplifier une fraction
- Cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur (2, 3, 5, 10…).
- Divise le numérateur et le dénominateur par ce nombre.
- Recommence jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.
Exemple — Simplifier 48/120.
- 48 et 120 sont pairs : 48/120 = 24/60.
- Encore pairs : 24/60 = 12/30, puis 12/30 = 6/15.
- 6 et 15 sont divisibles par 3 : 6/15 = 2/5.
Plus rapide : diviser directement par 24, le plus grand diviseur commun de 48 et 120.
Exemple — Le transformateur. 410/20 000 = 41/2 000 (on divise par 10) ; 41 n’a pas d’autre diviseur que 1 et lui-même et ne divise pas 2 000 : la fraction est irréductible.
Critères de divisibilité utiles. Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (120 : 1 + 2 + 0 = 3) ; par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4 (2 600 : oui).
FAdditionner et soustraire des fractions
Même dénominateur. On additionne les numérateurs et on garde le dénominateur : 15/40 + 9/40 = 24/40 = 3/5.
Dénominateurs différents. Il faut d’abord mettre les fractions au même dénominateur.
Additionner deux fractions de dénominateurs différents
- Cherche un dénominateur commun : un multiple des deux dénominateurs, le plus petit possible.
- Transforme chaque fraction en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
- Additionne (ou soustrais) les numérateurs ; garde le dénominateur commun.
- Simplifie le résultat.
Exemple — 2/3 + 1/4. Le plus petit multiple commun de 3 et 4 est 12.
- 2/3 = (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12.
- 1/4 = (1 × 3)/(4 × 3) = 3/12.
- 8/12 + 3/12 = 11/12.
Attention : 2/3 + 1/4 n’est pas égal à 3/7 (la calculatrice donne 0,917 et 0,429). On n’additionne les numérateurs qu’après avoir mis les fractions au même dénominateur.
GMultiplier et diviser des fractions
Produit, inverse et quotient
- Produit : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d).
- Inverse : l’inverse de a/b est b/a (a et b non nuls). L’inverse de 5/2 est 2/5 ; l’inverse de 40 est 1/40.
- Quotient : diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse : (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c).
Exemple — Un quotient. (3/4) ÷ (9/8) = 3/4 × 8/9 = 24/36 = 2/3 (on simplifie par 12).
Exemple — Multiplier par un entier. 2/5 × 24 = 48/5 = 9,6. Un entier n se multiplie seulement avec le numérateur, car n = n/1.
HLes fractions en électricité
Le programme demande d’étendre ces règles aux fractions de nombres réels, c’est-à-dire de nombres quelconques (décimaux, ou lettres qui représentent des grandeurs). C’est exactement ce que font les formules de l’électricité.
Les résistances en parallèle. Quand deux résistances R1 et R2 sont branchées en parallèle (sous la même tension), la résistance équivalente R vérifie :
1/R = 1/R1 + 1/R2
C’est une somme de fractions. Le chapitre U4-01 l’utilise pour les relais de l’armoire de la ligne 3.
Deux résistances de 40 Ω et 120 Ω en parallèle
Données : R1 = 40 Ω ; R2 = 120 Ω ; U = 24 V. Formule : 1/R = 1/R1 + 1/R2. Calcul : le dénominateur commun de 40 et 120 est 120, car 120 = 3 × 40.
- 1/40 = 3/120.
- 1/R = 3/120 + 1/120 = 4/120 = 1/30.
- R est l’inverse de 1/30 : R = 30 Ω.
Vérification : I = U/R = 24 V / 30 Ω = 0,8 A, et c’est bien la somme des courants des deux branches : 24/40 = 0,6 A et 24/120 = 0,2 A.
La formule « produit sur somme ». En réduisant 1/R1 + 1/R2 au même dénominateur R1 × R2, on obtient (R2 + R1)/(R1 × R2). Son inverse donne :
R = (R1 × R2)/(R1 + R2)
Avec 40 Ω et 120 Ω : R = (40 × 120)/(40 + 120) = 4 800/160 = 30 Ω, le même résultat.
Le pont diviseur. Deux résistances en série se partagent la tension. Avec R1 = 15 kΩ et R2 = 10 kΩ sous 24 V, la résistance totale vaut 25 kΩ, et R2 en représente 10/25 = 2/5.
- U2 = 24 V × 10/25 = 24 V × 2/5 = 9,6 V ;
- U1 = 24 V × 15/25 = 24 V × 3/5 = 14,4 V ;
- contrôle : 9,6 V + 14,4 V = 24 V, et 2/5 + 3/5 = 5/5 = 1.
Les résistances en parallèle ne s'additionnent pas
Pour 40 Ω en parallèle avec 120 Ω, additionner 40 + 120 = 160 Ω est faux : ce sont les inverses qui s’additionnent. Le résultat d’une association en parallèle est toujours plus petit que la plus petite des résistances (ici 30 Ω < 40 Ω).
3. Les puissances de dix
En électrotechnique, les nombres vont du millionième d’ampère au milliard de wattheures. Les puissances de dix, la notation scientifique et les préfixes (milli, kilo, méga) évitent les zéros à rallonge et les erreurs.
ACe qu’est une puissance
À quoi ça sert : une puissance est une écriture courte d’une multiplication répétée. 10 × 10 × 10 s’écrit 103.
Puissance d'un nombre
Pour un nombre a et un entier n positif, an (lire « a puissance n » ou « a exposant n ») est le produit de n facteurs égaux à a. Par convention, a0 = 1 (si a n’est pas nul) et a−n = 1/an.
Exemples. 23 = 2 × 2 × 2 = 8 ; 104 = 10 000 ; 10−3 = 1/103 = 1/1 000 = 0,001 ; 50 = 1.
Pour les puissances de 10, l’exposant compte les rangs : 106 = 1 000 000 (six zéros) ; 10−6 = 0,000 001 (le 1 au sixième rang après la virgule).
BLes règles de calcul
Les trois règles des puissances
Pour a non nul et n, p entiers (positifs ou négatifs) :
- produit : an × ap = an+p (on additionne les exposants) ;
- quotient : an / ap = an−p (on soustrait les exposants) ;
- puissance d’une puissance : (an)p = an×p (on multiplie les exposants).
Exemples avec 10.
- 103 × 10−6 = 103+(−6) = 10−3 ;
- 105 / 102 = 105−2 = 103 ;
- (103)2 = 103×2 = 106.
Exemple avec 2 (utile pour le binaire, partie 6) : 23 × 25 = 28 = 256.
Attention : 10−3 n’est pas un nombre négatif, c’est 0,001. Le signe moins de l’exposant veut dire « diviser », pas « rendre négatif ».
CLa notation scientifique
À quoi ça sert : comparer d’un coup d’œil des nombres très grands ou très petits, et les entrer sans erreur dans la calculatrice.
Notation scientifique
Un nombre positif est écrit en notation scientifique quand il a la forme a × 10n, avec 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n entier relatif. Le nombre a s’appelle la mantisse ; n est l’exposant.
Passer en notation scientifique
- Place la virgule juste après le premier chiffre non nul : tu obtiens la mantisse a.
- Compte de combien de rangs tu as déplacé la virgule : c’est la valeur de n.
- Si le nombre de départ est grand (supérieur à 10), n est positif ; s’il est petit (inférieur à 1), n est négatif.
- Contrôle : multiplie a par 10n de tête et retrouve le nombre de départ.
Exemples tirés du métier.
- Courant de court-circuit aux bornes du transformateur de Ternevault : 23 500 A = 2,35 × 104 A.
- Courant dans le pont diviseur de surveillance : 0,000 96 A = 9,6 × 10−4 A.
- Consommation annuelle de Ternevault en 2025 : 2 600 MWh = 2 600 × 106 Wh = 2,6 × 109 Wh.
Sur la calculatrice, une touche permet d’entrer « × 10n » (souvent notée EE, EXP ou ×10x) : pour 1,72 × 10−8, tape 1,72, cette touche, puis −8. C’est plus sûr que de taper la puissance de dix à la main dans un long calcul.
DCalculer en notation scientifique
À quoi ça sert : simplifier une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des décimaux en notation scientifique, comme le demande le programme. C’est le cas de la résistance d’un câble.
Calculer un produit ou un quotient en notation scientifique
- Regroupe les mantisses d’un côté et les puissances de dix de l’autre.
- Calcule les mantisses avec la calculatrice ou de tête.
- Calcule les puissances de dix avec les règles des exposants.
- Remets le résultat en notation scientifique si la mantisse n’est pas entre 1 et 10.
La résistance d'un conducteur de 25 m dans les unités du SI
Le chapitre U4-01 calcule la résistance d’un conducteur en cuivre de 25 m et de 1,5 mm². Dans les unités du Système international (SI), la résistivité du cuivre (sa résistance propre de matériau) vaut ρ = 1,72 × 10−8 Ω·m et la section vaut S = 1,5 mm² = 1,5 × 10−6 m².
Formule : R = ρ × L / S.
- Numérateur : 1,72 × 10−8 × 25 = (1,72 × 25) × 10−8 = 43 × 10−8 = 4,3 × 10−7 Ω·m².
- Quotient : (4,3 × 10−7) / (1,5 × 10−6) = (4,3 / 1,5) × 10−7−(−6) = 2,867 × 10−1 Ω.
- Résultat : R ≈ 0,287 Ω.
Vérification : c’est la valeur trouvée au chapitre U4-01 avec ρ = 0,0172 Ω·mm²/m : 0,0172 × 25 / 1,5 ≈ 0,287 Ω. Les deux systèmes d’unités donnent le même résultat.
À l’étape 2, −7 − (−6) = −7 + 6 = −1 : soustraire un négatif revient à ajouter son opposé. C’est là que se cachent la plupart des erreurs d’exposant.
Un carré. Pour une bobine de relais, P = R × I² avec R = 4,8 × 102 Ω et I = 5 × 10−2 A : I² = 25 × 10−4, donc P = (4,8 × 25) × 102−4 = 120 × 10−2 = 1,2 W.
ELes préfixes des unités
Les unités du métier s’écrivent avec des préfixes qui remplacent une puissance de dix. Ils vont de trois en trois.
| Préfixe | Symbole | Puissance de dix | Exemple chez Calvérac ou ses clients |
|---|---|---|---|
| giga | G | 109 | 2,6 GWh : consommation annuelle de Ternevault |
| méga | M | 106 | 2 600 MWh : la même consommation ; isolement d’un câble de plusieurs MΩ |
| kilo | k | 103 | 20 kV : tension d’arrivée HTA (haute tension A) de l’usine |
| (unité) | — | 100 = 1 | 24 V : tension des automatismes |
| milli | m | 10−3 | 30 mA : courant d’un détecteur de position |
| micro | µ | 10−6 | 20 µF : un condensateur étudié pour le tableau de la ligne 3 |
Pour convertir, on remplace le préfixe par sa puissance de dix : 4,7 kΩ = 4,7 × 103 Ω = 4 700 Ω.
Les unités au carré et les kWh
1 mm² vaut 10−6 m², pas 10−3 m² : le préfixe s’applique au mètre avant la mise au carré. De même, 1 kWh vaut 1 000 W × 3 600 s = 3,6 × 106 J, et non 1 000 J : il y a des heures dans l’unité.
FLes ordres de grandeur
À quoi ça sert : repérer une erreur de calcul avant de rendre un résultat. L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de dix la plus proche de ce nombre. On l’estime en arrondissant chaque donnée à un ou deux chiffres, puis en calculant de tête avec les puissances de dix.
Vérifier l'économie du relamping de Ternevault
Pour son relamping (remplacement des luminaires par des modèles économes), Ternevault remplace 140 luminaires de 400 W par des luminaires LED de 150 W, soit 250 W économisés par luminaire, pendant 5 200 h par an.
- Estimation : 1,4 × 102 × 2,5 × 102 × 5,2 × 103 ≈ (1,4 × 2,5 × 5,2) × 107 ≈ 18 × 107 ≈ 2 × 108 Wh.
- Calcul exact : 140 × 250 × 5 200 = 182 000 000 Wh = 1,82 × 108 Wh = 182 000 kWh.
- L’estimation et le calcul ont le même ordre de grandeur (108 Wh) : pas d’erreur de zéro.
4. Proportions et pourcentages
Part de l’énergie consommée par les moteurs, réserve exigée par le cahier des charges, part d’un client dans le chiffre d’affaires : les pourcentages sont partout. Ce sont des fractions de dénominateur 100. La vraie difficulté est de savoir de quoi on prend le pourcentage.
AUne proportion, c’est une part du tout
À quoi ça sert : dire quelle part d’un ensemble représente une partie, pour comparer des ensembles de tailles différentes.
Proportion
Quand une partie A d’effectif nA appartient à un ensemble de référence E d’effectif N, la proportion de A dans E vaut p = nA / N. C’est un nombre compris entre 0 et 1. L’effectif est le nombre d’éléments (ou la valeur) de la partie ou du tout.
Exemple — L’effectif de Calvérac. Calvérac compte 68 salariés, dont 34 sur les chantiers. La proportion de salariés de chantier vaut p = 34/68 = 1/2 = 0,5.
Inversement, si l’on connaît la proportion et le tout, on retrouve la partie : nA = p × N. Chez Ternevault, les moteurs consomment 68 % des 2 600 MWh de l’usine : 0,68 × 2 600 = 1 768 MWh.
BLe pourcentage et le pour mille
Pourcentage et pour mille
Une proportion p s’exprime en pourcentage en la multipliant par 100 : p = 0,5 = 50/100 = 50 %. Elle s’exprime en pour mille (symbole ‰) en la multipliant par 1 000 : p = 0,0012 = 1,2/1 000 = 1,2 ‰.
Le pour mille sert pour les très petites proportions. Exemple : Sorbelin, le grossiste de Calvérac, a reçu 3 retours pour défaut sur 2 500 disjoncteurs livrés en 2025 (chiffres fictifs) : 3/2 500 = 0,0012, soit 1,2 ‰ ou 0,12 %. Attention : 1,2 ‰ est dix fois plus petit que 1,2 %.
La règle de trois. Passer d’une proportion à un pourcentage, c’est appliquer une proportionnalité : « 8 sur 68, c’est combien sur 100 ? »
| Effectif | Total |
|---|---|
| 8 | 68 |
| x | 100 |
x = 8 × 100 / 68 ≈ 11,8. Le bureau d’études représente environ 11,8 % de l’effectif.
CPlusieurs parts d’un même tout
À quoi ça sert : additionner ou comparer des parts du même ensemble, par exemple les activités d’une entreprise.
Le chiffre d’affaires 2025 de Calvérac (fictif) vaut 9 600 000 € HT (hors taxes). Il se répartit entre quatre activités.
| Activité | Montant (€ HT) | Proportion | Pourcentage |
|---|---|---|---|
| Installations industrielles | 4 416 000 | 4 416 000 / 9 600 000 = 0,46 | 46 % |
| Tertiaire (bureaux, commerces) | 2 688 000 | 0,28 | 28 % |
| Maintenance | 1 728 000 | 0,18 | 18 % |
| Énergies renouvelables et IRVE (infrastructures de recharge de véhicules électriques) | 768 000 | 0,08 | 8 % |
| Total | 9 600 000 | 1 | 100 % |
Pourcentages « parallèles » : même référence
Quand des pourcentages portent sur la même population de référence et sur des parties sans élément commun, on peut les additionner ou les soustraire :
- les installations (industrie et tertiaire) font 46 % + 28 % = 74 % du chiffre d’affaires ;
- l’industrie pèse 46 − 28 = 18 points de pourcentage de plus que le tertiaire.
DUn pourcentage de pourcentage
À quoi ça sert : trouver la part d’une sous-partie dans le tout, quand on connaît sa part dans la partie.
La maintenance représente 18 % du chiffre d’affaires. Le contrat de maintenance des Papeteries Ternevault représente, lui, 10 % du chiffre d’affaires de la maintenance (fictif). Quelle part du chiffre d’affaires total représente-t-il ?
Pourcentages « successifs » : on multiplie
Si une partie A représente une proportion p1 d’un ensemble E, et qu’une sous-partie B représente une proportion p2 de A, alors B représente p1 × p2 de E.
Calcul : 0,18 × 0,10 = 0,018 = 1,8 %. En euros : 0,018 × 9 600 000 € = 172 800 € HT. Contrôle direct : 10 % de 1 728 000 € = 172 800 €.
Additionner des pourcentages de références différentes
Le contrat Ternevault ne fait pas 18 % + 10 % = 28 % du chiffre d’affaires. Les 10 % sont pris sur la maintenance, les 18 % sur le total : les références sont différentes, on multiplie. Avant tout calcul, demande-toi toujours : « pour cent de quoi ? »
Exemple — Le photovoltaïque de Ternevault. La centrale en projet produirait 262,5 MWh par an (estimation), dont 92 % consommés sur place : 0,92 × 262,5 = 241,5 MWh. Cela couvre 241,5 / 2 600 ≈ 9,3 % de la consommation de l’usine. Le « 92 % » se rapporte à la production, le « 9,3 % » à la consommation : deux références différentes.
Dans une note de calcul, les pourcentages servent aussi à exprimer une réserve (25 % de réserve sur 5,08 A : 5,08 × 1,25 = 6,35 A), une chute de tension relative (0,688 V sur 24 V : 0,688 / 24 ≈ 2,9 %) ou un rendement (92 %, soit 0,92).
5. Évolutions et indices
Le prix de l’électricité augmente, la consommation d’une usine baisse après des travaux : on veut mesurer ces variations et les enchaîner. La clé est une seule idée : une évolution en pourcentage est une multiplication. Les indices en base 100 en sont une application directe.
AVariation absolue et variation relative
À quoi ça sert : décrire de combien une grandeur a changé, en valeur et en proportion.
Grâce au relamping, Ternevault prévoit de passer d’une consommation de 2 600 MWh en 2025 à 2 418 MWh en 2026.
Variation absolue et taux d'évolution
Une grandeur passe d’une valeur de départ V0 à une valeur d’arrivée V1.
- La variation absolue vaut V1 − V0, dans l’unité de la grandeur.
- La variation relative, ou taux d’évolution, vaut t = (V1 − V0) / V0. Elle est sans unité et s’exprime souvent en pourcentage. Elle est positive pour une hausse, négative pour une baisse.
Exemple.
- Variation absolue : 2 418 − 2 600 = −182 MWh.
- Taux d’évolution : t = −182 / 2 600 = −0,07 = −7 %.
La consommation baisse de 7 %. On divise toujours par la valeur de départ.
Proportion ou évolution ?
« L’économie représente 7 % de la consommation de 2025 » est une proportion (une partie, 182 MWh, d’un tout, 2 600 MWh). « La consommation baisse de 7 % » est une évolution (deux valeurs à deux dates). Ici les deux nombres sont égaux, mais ce n’est pas une règle.
BLe coefficient multiplicateur
Une évolution est une multiplication
Une évolution de taux t revient à multiplier la valeur de départ par le coefficient multiplicateur CM = 1 + t :
V1 = V0 × (1 + t)
- une hausse de 12,5 % : CM = 1 + 0,125 = 1,125 ;
- une baisse de 7 % : CM = 1 − 0,07 = 0,93.
Inversement, multiplier par un nombre CM revient à appliquer une évolution de (CM − 1) × 100 % : multiplier par 0,96, c’est baisser de 4 %.
Exemple — Une hausse de prix. Le prix d’achat de l’électricité de Ternevault, fictif, vaut 0,16 € HT par kWh en 2025. Il augmente de 12,5 % en 2026 : 0,16 × 1,125 = 0,18 € HT par kWh.
CL’évolution réciproque
À quoi ça sert : savoir quelle évolution annule une évolution donnée.
L’évolution réciproque d’une évolution de coefficient CM est celle qui ramène à la valeur de départ. Son coefficient est l’inverse 1/CM.
Exemple — Revenir au prix de 2025. Après la hausse de 12,5 %, quelle baisse ramènerait le prix à 0,16 € ?
- Coefficient réciproque : 1/1,125 ≈ 0,8889.
- Taux : 0,8889 − 1 = −0,1111, soit une baisse d’environ 11,1 %.
- Contrôle : 0,18 × 0,8889 ≈ 0,16.
Une hausse de 12,5 % se compense par une baisse de 11,1 %, pas de 12,5 % : la baisse porte sur une valeur plus grande.
DLes évolutions successives
Évolutions successives : on multiplie les coefficients
Si une grandeur subit une évolution de coefficient CM1, puis une évolution de coefficient CM2, l’évolution globale a pour coefficient CM = CM1 × CM2. Le taux global vaut CM − 1.
Le programme insiste sur deux résultats qui surprennent :
- deux hausses de 50 % ne doublent pas une valeur : 1,5 × 1,5 = 2,25, soit +125 % et non +100 % ;
- une hausse de 50 % suivie d’une baisse de 50 % n’est pas neutre : 1,5 × 0,5 = 0,75, soit −25 %.
Le prix de l'électricité sur deux ans
Le prix fictif de Ternevault augmente de 12,5 % en 2026, puis baisse de 4 % en 2027.
Données : CM1 = 1,125 ; CM2 = 1 − 0,04 = 0,96. Formule : CM = CM1 × CM2. Calcul : CM = 1,125 × 0,96 = 1,08. Résultat : taux global = 1,08 − 1 = 0,08 = +8 %. Le prix passe de 0,16 € à 0,16 × 1,08 = 0,1728 € HT par kWh. Vérification : 0,16 × 1,125 = 0,18 en 2026, puis 0,18 × 0,96 = 0,1728 en 2027.
Les taux ne s'additionnent pas
+12,5 % puis −4 % ne donnent pas +8,5 % (12,5 − 4), mais +8 %. On additionne seulement des pourcentages de la même référence (partie 4). Ici, la baisse de 4 % porte sur le prix de 2026, pas sur celui de 2025.
ELe taux moyen
À quoi ça sert : résumer plusieurs évolutions par un taux constant qui donnerait le même résultat. C’est utile pour comparer des périodes de durées différentes.
Taux moyen
Pour deux évolutions successives de coefficient global CM, le taux moyen tm est le taux qui, appliqué deux fois de suite, donne le même coefficient : (1 + tm)² = CM, donc 1 + tm = √CM.
Exemple — Le taux moyen annuel du prix. Sur 2026 et 2027, CM = 1,08.
- 1 + tm = √1,08 ≈ 1,0392.
- tm ≈ 0,0392, soit environ +3,92 % par an.
- Contrôle : 0,16 × 1,0392 × 1,0392 ≈ 0,1728 €.
Le taux moyen (+3,92 %) n’est pas la moyenne des deux taux ((12,5 − 4)/2 = 4,25 %).
FLes indices en base 100
À quoi ça sert : suivre l’évolution d’une grandeur sur plusieurs années en la comparant à une année de référence, sans se soucier des unités.
Indice simple en base 100
L’indice d’une grandeur à la date n, en base 100 à la date de référence 0, vaut In = Vn / V0 × 100. Il vaut 100 à la date de référence. Un indice de 112 signifie une hausse de 12 % depuis la référence ; un indice de 88 une baisse de 12 %.
| Année | 2022 | 2023 | 2024 | 2025 | 2026 (prévision) |
|---|---|---|---|---|---|
| Consommation (MWh) | 2 750 | 2 700 | 2 650 | 2 600 | 2 418 |
| Indice (base 100 en 2022) | 100 | 98,18 | 96,36 | 94,55 | 87,93 |
Calcul de l’indice 2025 : 2 600 / 2 750 × 100 ≈ 94,55.
Passer d'un indice à un taux d'évolution
- Depuis la date de référence : taux = indice/100 − 1. Indice 87,93 en 2026 : 87,93/100 − 1 = −0,1207, soit −12,07 % depuis 2022.
- Entre deux dates quelconques : taux = I2 / I1 − 1. De 2025 à 2026 : 87,93 / 94,55 − 1 ≈ −0,070, soit −7 %.
- D’un taux à un indice : indice = 100 × (1 + t). Une hausse de 12 % depuis la référence donne un indice de 112.
Points d'indice et pourcentage
Entre 2025 et 2026, l’indice perd 94,55 − 87,93 = 6,62 points, mais la consommation baisse de 7 %. Les deux ne coïncident qu’à partir de la date de référence (indice 100). Pour un taux entre deux dates, on divise les indices, on ne les soustrait pas.
Le programme se limite à l’indice simple d’une seule grandeur ; les indices « synthétiques » (comme l’indice des prix à la consommation) sont hors programme.
Les indices au tableur
Au tableur, si les années sont en ligne 1 et les consommations en
ligne 2 (2022 en colonne B), écris en B3 la formule
=B2/$B$2*100 puis recopie-la vers la droite. Le symbole
$ bloque la référence à la valeur de 2022, qui doit rester
le dénominateur de chaque calcul.
6. Écrire les nombres en différentes bases
Nous écrivons les nombres avec dix chiffres, mais l’automate de la ligne 3 ne connaît que 0 et 1. Les heures se comptent par soixante, les codes des appareils s’affichent souvent avec seize chiffres. Cette partie explique ces systèmes et le passage de l’un à l’autre.
AL’écriture positionnelle
À quoi ça sert : comprendre que la valeur d’un chiffre dépend de sa place dans le nombre. Toutes les bases utiles reposent sur cette idée.
Système positionnel et base
Dans un système de numération positionnel de base b, on utilise b chiffres (de 0 à b − 1). Chaque position a un poids égal à une puissance de b : 1, b, b², b³… de droite à gauche. La valeur du nombre est la somme des chiffres multipliés par leurs poids.
En base 10, avec les chiffres 0 à 9 : 2026 = 2 × 103 + 0 × 102 + 2 × 101 + 6 × 100 = 2 000 + 0 + 20 + 6.
Le chiffre 2 n’a pas la même valeur selon sa place : deux milliers à gauche, deux dizaines au milieu. Le zéro est indispensable : il marque une position vide (0 centaine).
Pourquoi ces bases ? Chaque base a son histoire et son intérêt.
| Base | Chiffres | Origine et usage |
|---|---|---|
| 10 (décimal) | 0 à 9 | nos dix doigts, probablement ; écriture courante et unités du SI |
| 60 (sexagésimal) | 60 valeurs par position | héritée de Mésopotamie ; 60 a beaucoup de diviseurs (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30) ; heures, minutes, angles |
| 2 (binaire) | 0 et 1 | deux états physiques (contact ouvert ou fermé) ; automates et informatique |
| 16 (hexadécimal) | 0 à 9 puis A à F | écriture courte du binaire : un chiffre remplace 4 bits |
Une curiosité. L’écriture décimale est régulière, mais l’oral français ne l’est pas : « quatre-vingt-dix » (4 × 20 + 10) garde la trace d’un comptage par vingt. En Belgique et en Suisse, on dit « nonante ».
BLa base 60 : heures et angles
À quoi ça sert : convertir des durées pour un planning, un compteur horaire ou une facture d’intervention, et lire un angle de déphasage en degrés et minutes.
Une heure compte 60 minutes, une minute 60 secondes : 1 h = 3 600 s. Un degré d’angle compte 60 minutes d’angle (notées ′).
Convertir une durée décimale en heures et minutes
- La partie entière donne les heures : 3,45 h → 3 h.
- Multiplie la partie décimale par 60 pour obtenir les minutes : 0,45 × 60 = 27 min.
- Résultat : 3,45 h = 3 h 27 min.
- Dans l’autre sens, divise les minutes par 60 : 2 h 45 min = 2 + 45/60 = 2,75 h.
Exemples chez Calvérac.
- Bilal Ouazzani note sur son bon d’intervention une durée de 2 h 45 min. Le logiciel de facturation attend des heures décimales : il saisit 2,75 h.
- Le compteur horaire du compresseur de Ternevault indique 5 h 36 min 18 s de marche depuis sa remise à zéro. En secondes : 5 × 3 600 + 36 × 60 + 18 = 20 178 s.
- Au chapitre U4-02, le déphasage d’un électroaimant vaut 62,05°. En degrés et minutes d’angle : 0,05 × 60 = 3, donc 62° 3′.
3,45 h ne fait pas 3 h 45 min
Après la virgule, une durée décimale compte des centièmes d’heure, pas des minutes. 3,45 h = 3 h 27 min ; 3 h 45 min = 3,75 h. Cette erreur fausse les plannings et les factures.
CLa base 2 : le langage des automates
À quoi ça sert : lire l’état des entrées et des sorties d’un automate, comprendre un mot de commande ou d’état, et dialoguer avec l’automaticien.
Bit et octet
Un bit (de l’anglais binary digit, chiffre binaire) est un chiffre qui vaut 0 ou 1. Un octet est un groupe de 8 bits. Les bits d’un octet sont numérotés de 0 (le plus à droite, poids 1) à 7 (le plus à gauche, poids 27 = 128).
Pour éviter la confusion avec la base 10, on précise la base en indice quand c’est utile : 10112 est un nombre binaire ; 101110 (mille onze) est un nombre décimal. On regroupe souvent les bits par quatre pour les lire plus facilement : 1011 0010.
Exemple — Le module d’entrées du convoyeur. Sur la ligne 3 de Ternevault, huit détecteurs du convoyeur C1 sont raccordés à un module d’entrées TOR (tout ou rien : chaque entrée vaut 0 ou 1) de l’automate. Chaque détecteur actionné met son entrée à 1. Le logiciel de supervision (qui affiche l’état de la ligne sur un écran) présente l’état du module sous la forme d’un octet : 1011 0010.
Du binaire au décimal, on écrit sous chaque bit son poids (1, 2, 4… 128 de droite à gauche) et on additionne les poids des bits à 1 : 1011 00102 = 128 + 32 + 16 + 2 = 178.
Les entrées actionnées sont les entrées 7, 5, 4 et 1. Le nombre 178 sert seulement à transmettre ces huit informations en une seule valeur.
Du décimal au binaire. Deux méthodes donnent le même résultat.
Convertir un entier décimal en binaire
Par les poids (pratique jusqu’à 255) :
- Cherche le plus grand poids (128, 64, 32…) inférieur ou égal au nombre ; écris 1 à ce rang.
- Soustrais ce poids et recommence avec le reste ; écris 0 aux rangs non utilisés.
Par divisions successives par 2 :
- Divise le nombre par 2 ; note le reste (0 ou 1).
- Recommence avec le quotient jusqu’à obtenir un quotient nul.
- Lis les restes du dernier au premier : c’est l’écriture binaire.
Exemple — 178 par les poids. 178 − 128 = 50 ; 50 − 32 = 18 ; 18 − 16 = 2 ; 2 − 2 = 0. Les rangs 7, 5, 4 et 1 valent 1 : 1011 0010.
Exemple — 13 par divisions. 13 = 2 × 6 + 1 ; 6 = 2 × 3 + 0 ; 3 = 2 × 1 + 1 ; 1 = 2 × 0 + 1. Lecture de bas en haut : 13 = 11012. Contrôle : 8 + 4 + 1 = 13.
Avec 8 bits, on écrit les entiers de 0 (0000 0000) à 255 (1111 1111 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1), soit 28 = 256 valeurs.
DAdditionner en binaire
À quoi ça sert : comprendre comment l’automate additionne des compteurs (pièces, palettes), et quand un octet « déborde ».
On pose l’addition en colonnes comme en base 10, avec une règle nouvelle : 1 + 1 = 102 (deux s’écrit 10 en binaire). On pose 0 et on retient 1.
| Opération | Résultat | On pose | Retenue |
|---|---|---|---|
| 0 + 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 + 1 ou 1 + 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 + 1 | 102 (deux) | 0 | 1 |
| 1 + 1 + 1 (avec une retenue) | 112 (trois) | 1 | 1 |
Exemple. 0101 10112 + 0011 01102 = 1001 00012. Contrôle en décimal : 91 + 54 = 145, et 1001 00012 = 128 + 16 + 1 = 145.
Le dépassement. Sur un octet, le résultat ne doit pas dépasser 255. Additionner 200 et 100 donne 300, qui demande 9 bits (1 0010 11002) : selon l’appareil, le 9e bit est perdu (l’octet contient alors 300 − 256 = 44, un résultat faux) ou un dépassement est signalé. La taille d’un compteur se choisit donc selon sa valeur maximale.
Le programme limite l’addition binaire à un octet. Les nombres négatifs et les nombres à virgule en binaire sont hors programme.
ELa base 16 : l’hexadécimal
À quoi ça sert : écrire un octet en deux caractères au lieu de huit. Les notices de variateurs, d’automates ou de compteurs donnent souvent codes d’état et adresses en hexadécimal.
Base 16 (hexadécimal)
La base 16 utilise seize chiffres : 0 à 9, puis A (dix), B (onze), C (douze), D (treize), E (quatorze) et F (quinze). Les poids sont 1, 16, 16² = 256, 16³ = 4 096… On signale un nombre hexadécimal par l’indice 16 (B216), par le préfixe 0x (0xB2) ou par le suffixe h (B2h), selon les documents.
| Décimal | Binaire (4 bits) | Hexadécimal | Décimal | Binaire (4 bits) | Hexadécimal |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 8 | 1000 | 8 |
| 1 | 0001 | 1 | 9 | 1001 | 9 |
| 2 | 0010 | 2 | 10 | 1010 | A |
| 3 | 0011 | 3 | 11 | 1011 | B |
| 4 | 0100 | 4 | 12 | 1100 | C |
| 5 | 0101 | 5 | 13 | 1101 | D |
| 6 | 0110 | 6 | 14 | 1110 | E |
| 7 | 0111 | 7 | 15 | 1111 | F |
Un groupe de 4 bits s’appelle un quartet. Comme 24 = 16, chaque quartet correspond à un chiffre hexadécimal : c’est ce qui rend la conversion entre binaire et hexadécimal immédiate.
Passer du binaire à l'hexadécimal, et inversement
- Découpe le nombre binaire en quartets à partir de la droite ; complète à gauche par des 0 si besoin.
- Remplace chaque quartet par son chiffre hexadécimal (tableau ci-dessus).
- Dans l’autre sens, remplace chaque chiffre hexadécimal par son quartet.
Exemple. 1011 00102 : 1011 = 11 = B et 0010 = 2, donc 1011 00102 = B216. Contrôle en décimal : B216 = 11 × 16 + 2 = 178.
De l’hexadécimal au décimal. On multiplie chaque chiffre par son poids. 7EA16 = 7 × 256 + 14 × 16 + 10 = 1 792 + 224 + 10 = 2 026.
Du décimal à l’hexadécimal. On peut diviser successivement par 16, ou passer par le binaire. Pour 2 026 :
- 2 026 = 16 × 126 + 10 (reste 10, soit A) ;
- 126 = 16 × 7 + 14 (reste 14, soit E) ;
- 7 = 16 × 0 + 7.
Lecture des restes de bas en haut : 2 026 = 7EA16, soit 0111 1110 10102 en binaire.
Les lettres sont des chiffres
En hexadécimal, A à F sont des chiffres, pas des abréviations. 1F16 vaut 1 × 16 + 15 = 31, pas « 1 et F ». Et 1016 vaut seize, pas dix : vérifie toujours la base avant de lire un nombre.
FDeux codes particuliers : BCD et Gray
Le programme mentionne deux autres codes binaires que tu rencontreras sur des appareils.
Code BCD
Le code BCD (de l’anglais binary coded decimal, décimal codé en binaire) code chaque chiffre décimal séparément sur 4 bits. Le nombre 59 s’écrit 0101 1001 en BCD (5 puis 9), alors qu’il s’écrit 11 1011 en binaire naturel.
On trouve le BCD sur les roues codeuses (petits sélecteurs à chiffres pour choisir une recette sur une machine) et sur certains afficheurs. En contrepartie, il utilise plus de bits que le binaire naturel.
Code Gray
Dans le code Gray (ou binaire réfléchi), deux nombres consécutifs ne diffèrent que d’un seul bit. Sur 3 bits, la suite des codes de 0 à 7 est : 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100.
On le trouve dans les codeurs absolus, des capteurs qui donnent la position d’un axe (la table tournante d’un palettiseur, par exemple). En binaire naturel, passer de 3 (011) à 4 (100) change trois bits à la fois : si les capteurs ne basculent pas exactement ensemble, l’automate peut lire un instant 111 (7) ou 000 (0). En code Gray, un seul bit change : au pire, on lit la position voisine.
Le programme prévoit seulement de présenter ces codes ; on s’entraîne à les lire sur un exemple.
GLa numération romaine
À quoi ça sert : lire une date sur une plaque, ou un numéro de lot ou de phase dans un cahier des charges (« lot III », « phase II »).
Chiffres romains
La numération romaine utilise sept symboles : I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1 000. C’est un système additif et non positionnel : on additionne les valeurs des symboles, écrits du plus grand au plus petit (MDCLX = 1 000 + 500 + 100 + 50 + 10 = 1 660).
La règle de soustraction. Un symbole placé juste avant un symbole plus grand se soustrait. On n’utilise que six combinaisons : IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900. Un même symbole n’est pas répété plus de trois fois de suite : on écrit IV et non IIII (sauf sur certains cadrans d’horloge).
La plaque du pôle tertiaire Quervany
Sur la façade du pôle tertiaire Quervany, au Mans, une plaque indique l’année de construction : MCMXCIV.
- Découpe : M + CM + XC + IV.
- Valeurs : 1 000 + 900 + 90 + 4.
- Résultat : 1994. Le bâtiment a donc une trentaine d’années lors de sa rénovation, en 2027.
Dans l’autre sens, 2027 = 2 000 + 20 + 7 = MM + XX + VII = MMXXVII.
Avec ces règles, on écrit les entiers de 1 à 3 999 (MMMCMXCIX) ; le programme va jusqu’à 4 000, que l’on écrit en général MMMM. Sans zéro ni positions, ce système rend les calculs très difficiles : il a été remplacé par l’écriture positionnelle.
Erreurs fréquentes
| Erreur | Ce qu’il faut faire |
|---|---|
| Additionner les numérateurs et les dénominateurs : 2/3 + 1/4 = 3/7 | mettre au même dénominateur : 8/12 + 3/12 = 11/12 |
| Additionner des résistances en parallèle | additionner les inverses : 1/R = 1/R1 + 1/R2 |
| Croire que 10−3 est négatif | 10−3 = 0,001, un petit nombre positif |
| 1 mm² = 10−3 m² | 1 mm² = (10−3 m)² = 10−6 m² |
| Rendre un résultat sans contrôle d’ordre de grandeur | estimer avec les puissances de dix avant de conclure |
| Additionner des pourcentages de références différentes | se demander « pour cent de quoi ? » ; multiplier pour un pourcentage de pourcentage |
| Additionner des taux d’évolution successifs | multiplier les coefficients : 1,125 × 0,96 = 1,08 |
| Compenser une baisse de t % par une hausse de t % | utiliser l’évolution réciproque : coefficient 1/CM |
| Soustraire des indices pour obtenir un taux | diviser les indices : I2 / I1 − 1 |
| Lire 3,45 h comme 3 h 45 min | 0,45 h × 60 = 27 min |
| Lire les restes des divisions successives dans le mauvais sens | lire du dernier reste au premier |
| Prendre A à F pour des lettres | ce sont des chiffres : A = 10, F = 15 |
L’essentiel du chapitre
À retenir
- Fractions : a/b avec b ≠ 0 ; égalité si a × d = b × c ; on simplifie par un diviseur commun ; pour additionner, même dénominateur d’abord ; produit des numérateurs et des dénominateurs ; diviser, c’est multiplier par l’inverse. Parallèle : 1/R = 1/R1 + 1/R2, soit R = R1R2/(R1 + R2).
- Puissances : an × ap = an+p ; an / ap = an−p ; (an)p = anp ; a0 = 1 ; a−n = 1/an.
- Notation scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10 ; préfixes G (109), M (106), k (103), m (10−3), µ (10−6) ; 1 mm² = 10−6 m² ; 1 kWh = 3,6 × 106 J ; toujours vérifier l’ordre de grandeur.
- Proportion p = partie / tout ; en % (× 100) ou en ‰ (× 1 000). Pourcentages de même référence : on additionne. Pourcentage de pourcentage : on multiplie.
- Évolution : t = (V1 − V0)/V0 ; V1 = V0 × (1 + t) ; successives : on multiplie les coefficients ; réciproque : coefficient 1/CM ; taux moyen sur 2 périodes : 1 + tm = √CM.
- Indice base 100 : In = Vn / V0 × 100 ; taux depuis la référence = I/100 − 1 ; entre deux dates = I2/I1 − 1.
- Bases : écriture positionnelle, poids = puissances de la base. Base 60 : 1 h = 60 min, 1° = 60′. Binaire : octet de 8 bits, poids 1 à 128, valeurs 0 à 255 ; 1 + 1 = 10. Hexadécimal : chiffres 0 à F ; un chiffre = un quartet de 4 bits.
- Codes : BCD (un chiffre décimal sur 4 bits) ; Gray (un seul bit change d’un nombre au suivant). Romains : I, V, X, L, C, D, M ; système additif avec IV, IX, XL, XC, CD, CM.
Sources et références
- Arrêté du 21 février 2020 relatif au BTS « Électrotechnique » (JO du 17/03/2020), modifié par l’arrêté du 30 mars 2026 : épreuve E3 et liste de ses modules (Légifrance, lu le 22/10/2026).
- Arrêté du 4 juin 2013 fixant les objectifs, contenus et référentiel des capacités du domaine des mathématiques pour les BTS (BO n° 27 du 4/07/2013).
- Module « Calcul et numération » des programmes de mathématiques de BTS (écrit en 2016) : copie diffusée par l’académie de Bordeaux, lue le 22/10/2026 ; lettres de rentrée de l’inspection générale (2018, 2021-2022) sur l’origine du module et le BTS Électrotechnique.
- Académie de Toulouse, BTS : programmes et modalités d’évaluation en mathématiques (septembre 2021) : modules évalués en BTS Électrotechnique (lu le 22/10/2026).
- BIPM, Le Système international d’unités (SI), 9e édition (2019) : préfixes et unités.
- Chapitres liés : U4-01 (les bases de l’électricité : loi d’Ohm, résistances en parallèle, pont diviseur, résistance d’un conducteur), U4-02 (courant alternatif et déphasage), MATH-02 et MATH-03 (nombres complexes), MATH-06 (exponentielle et logarithme, puissances à exposant réel), MATH-12 (algorithmique et programmation).
Contenu original FuturBTS. Les entreprises et les personnes citées sont fictives. Les prix, consommations et chiffres d’affaires sont fictifs. Aucun passage, exemple ou exercice n’est repris d’un manuel existant.