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MATH · chapitre 1 Chapitre offert

Calculer avec les nombres

Ce que tu sauras faire : Calculer sans erreur avec des fractions, des puissances et la notation scientifique, manier proportions, pourcentages, évolutions et indices, et écrire un nombre en base 10, 2, 16 ou 60 (et en chiffres romains) à partir de situations électrotechniques.

2 h 30 de cours 10 exercices corrigés 10 questions de quiz
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Cherche d’abord au brouillon, puis ouvre le corrigé. Les exercices vont du plus simple au plus exigeant : les points indiquent leur difficulté. Compare ta démarche, pas seulement ton résultat.

Dans tous les exercices, les données techniques sont fournies : tu n’as pas besoin de connaissances d’électrotechnique pour répondre. Pose chaque calcul, donne les résultats avec leur unité et vérifie leur ordre de grandeur. Les prix, consommations et chiffres d’affaires sont fictifs.

Exercice 1

Calculer avec des fractions

Application
  1. Les fractions suivantes sont-elles égales ? Justifie avec les produits en croix.

  1. 12/18 et 10/15

  2. 7/9 et 21/28

  1. Simplifie chaque fraction jusqu’à obtenir une fraction irréductible.

  1. 48/120

  2. (−35)/(−49)

  3. 75/1 000

  1. Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.

  1. 2/3 + 1/6

  2. 3/4 − 5/6

  3. 5/8 × 12/25

  4. (4/9) ÷ (2/3)

  5. 1/30 + 1/60

  1. Parmi les deux écritures (5 − 5)/3 et 3/(5 − 5), laquelle est une fraction nulle ? Laquelle n’a pas de sens ? Explique.
Voir le corrigé détaillé

1. L’égalité de deux fractions. Méthode : deux fractions a/b et c/d sont égales si a × d = b × c.

  1. 12 × 15 = 180 et 18 × 10 = 180. Les produits en croix sont égaux : 12/18 = 10/15 (les deux valent 2/3).

  2. 7 × 28 = 196 et 9 × 21 = 189. Les produits sont différents : 7/9 et 21/28 ne sont pas égales. En effet, 21/28 = 3/4 = 0,75 alors que 7/9 ≈ 0,778.

2. Les simplifications.

  1. 48/120 : on divise par 2 trois fois (24/60, 12/30, 6/15), puis par 3 : 2/5. Plus rapide : on divise directement par 24, le plus grand diviseur commun.

  2. (−35)/(−49) : moins divisé par moins donne plus, donc (−35)/(−49) = 35/49. On divise par 7 : 5/7.

  3. 75/1 000 : on divise par 25 (75 = 3 × 25 et 1 000 = 40 × 25) : 3/40. Contrôle : 3 ÷ 40 = 0,075.

3. Les calculs.

  1. 2/3 + 1/6 : dénominateur commun 6. 2/3 = 4/6, donc 4/6 + 1/6 = 5/6.

  2. 3/4 − 5/6 : dénominateur commun 12. 3/4 = 9/12 et 5/6 = 10/12, donc 9/12 − 10/12 = −1/12. Le résultat est négatif, car 5/6 est plus grand que 3/4.

  3. 5/8 × 12/25 = (5 × 12)/(8 × 25) = 60/200 = 3/10 (on simplifie par 20).

  4. (4/9) ÷ (2/3) = 4/9 × 3/2 = 12/18 = 2/3 : diviser, c’est multiplier par l’inverse.

  5. 1/30 + 1/60 : 1/30 = 2/60, donc 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20. C’est le calcul de deux résistances de 30 Ω et 60 Ω en parallèle : la résistance équivalente vaut 20 Ω.

4. Fraction nulle ou impossible. (5 − 5)/3 = 0/3 = 0 : c’est une fraction nulle, car son numérateur est nul. 3/(5 − 5) = 3/0 n’a pas de sens : on ne divise jamais par zéro.

Piège

Additionner les dénominateurs

2/3 + 1/6 n’est pas 3/9. Mets toujours les fractions au même dénominateur avant d’additionner les numérateurs.

Exercice 2

Puissances de dix et préfixes

Calcul
  1. Écris sous la forme d’une seule puissance de 10.

  1. 104 × 10−7

  2. 103 / 10−3

  3. (10−2)3

  1. Écris en notation scientifique, avec l’unité.

  1. La tension d’arrivée de l’usine Ternevault : 20 000 V.

  2. La capacité d’un condensateur : 0,000 020 F.

  3. Le courant nominal du transformateur : 1 408 A.

  4. La consommation annuelle de 2 600 MWh, exprimée en Wh.

  1. Convertis dans l’unité demandée.

  1. 4,7 kΩ en Ω

  2. 250 µA en A (en notation scientifique)

  3. 0,22 MΩ en kΩ

  4. 35 mm² en m² (en notation scientifique)

  1. Calcule sans calculatrice, en regroupant les mantisses et les puissances de dix : (6 × 105 × 4 × 10−3) / (8 × 10−2).
Voir le corrigé détaillé

1. Les règles des exposants.

  1. Produit : on additionne les exposants. 104 × 10−7 = 104+(−7) = 10−3.

  2. Quotient : on soustrait les exposants. 103 / 10−3 = 103−(−3) = 103+3 = 106.

  3. Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants. (10−2)3 = 10−2×3 = 10−6.

2. La notation scientifique. On place la virgule après le premier chiffre non nul et on compte les rangs.

  1. 20 000 V = 2 × 104 V (4 rangs vers la gauche).

  2. 0,000 020 F = 2 × 10−5 F (5 rangs vers la droite) : c’est 20 µF.

  3. 1 408 A = 1,408 × 103 A.

  4. 2 600 MWh = 2 600 × 106 Wh = 2,6 × 103 × 106 Wh = 2,6 × 109 Wh.

3. Les conversions.

  1. 4,7 kΩ = 4,7 × 103 Ω = 4 700 Ω.

  2. 250 µA = 250 × 10−6 A = 2,5 × 102 × 10−6 A = 2,5 × 10−4 A.

  3. 0,22 MΩ = 0,22 × 106 Ω = 220 000 Ω = 220 kΩ.

  4. 1 mm² = (10−3 m)² = 10−6 m², donc 35 mm² = 35 × 10−6 m² = 3,5 × 10−5 m².

4. Le calcul.

  1. Numérateur : 6 × 105 × 4 × 10−3 = (6 × 4) × 105−3 = 24 × 102.
  2. Quotient : (24 × 102) / (8 × 10−2) = (24 / 8) × 102−(−2) = 3 × 104.
  3. Résultat : 3 × 104 = 30 000.
Piège

Le carré du préfixe

35 mm² ne vaut pas 35 × 10−3 m². Le millimètre est au carré : 1 mm² = 10−6 m².

Exercice 3

Trois résistances en parallèle

Calcul

À l’atelier de câblage de Calvérac, un banc d’essai comporte trois résistances chauffantes branchées en parallèle sous une tension continue de 24 V (schéma ci-dessous, valeurs fictives). On rappelle que la résistance équivalente R de résistances en parallèle vérifie 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3, que I = U/R et que P = U²/R.

Trois résistances chauffantes en parallèle
Exercice 3 — Trois résistances chauffantes en parallèle + − G1 24 V F1 R1 60 Ω R2 120 Ω R3 40 Ω I = ? I₁ I₂ I₃ U = 24 V Banc d'essai de l'atelier de câblage de Calvérac (valeurs fictives).
L'alimentation G1 de 24 V alimente, à travers le fusible F1, les résistances R1 (60 Ω), R2 (120 Ω) et R3 (40 Ω) branchées en parallèle.

  1. Calcule 1/60 + 1/120 + 1/40 sous forme de fraction irréductible. Déduis-en la résistance équivalente R.

  2. Calcule le courant total I fourni par G1, puis le courant dans chaque résistance. Vérifie que la somme des trois courants est égale à I.

  3. Quelle fraction du courant total traverse R3 ? Exprime-la aussi en pourcentage.

  4. Montre que, pour deux résistances seulement, 1/R1 + 1/R2 = (R1 + R2)/(R1 × R2). Utilise ce résultat pour calculer la résistance équivalente de R1 et R2 seules.

  5. Calcule la puissance de chaque résistance et la puissance totale. Quelle part de la puissance totale R3 reçoit-elle ?

Voir le corrigé détaillé

1. La résistance équivalente. On cherche un dénominateur commun à 60, 120 et 40 : 120 convient (120 = 2 × 60 = 3 × 40).

  1. 1/60 = 2/120 ; 1/120 = 1/120 ; 1/40 = 3/120.
  2. 1/R = 2/120 + 1/120 + 3/120 = 6/120 = 1/20.
  3. R est l’inverse de 1/20 : R = 20 Ω.

Contrôle : 20 Ω est plus petit que la plus petite des trois résistances (40 Ω), comme il se doit en parallèle.

2. Les courants. Les trois résistances sont sous la même tension U = 24 V.

  • Courant total : I = U/R = 24 V / 20 Ω = 1,2 A.
  • I1 = 24 V / 60 Ω = 0,4 A ; I2 = 24 V / 120 Ω = 0,2 A ; I3 = 24 V / 40 Ω = 0,6 A.
  • Somme : 0,4 + 0,2 + 0,6 = 1,2 A = I. La loi des nœuds est vérifiée.

3. La part du courant dans R3. I3 / I = 0,6 / 1,2 = 6/12 = 1/2, soit 50 %. Avec les fractions : la part de R3 est 3/6 (3 sixièmes sur les 6 de la somme 6/120), c’est-à-dire 1/2.

4. La formule « produit sur somme ».

  1. Dénominateur commun R1 × R2 : 1/R1 = R2/(R1 × R2) et 1/R2 = R1/(R1 × R2).
  2. Somme : 1/R1 + 1/R2 = (R2 + R1)/(R1 × R2) = (R1 + R2)/(R1 × R2).
  3. Application à R1 et R2 : R = (60 × 120)/(60 + 120) = 7 200 / 180 = 40 Ω. Contrôle : 1/60 + 1/120 = 3/120 = 1/40.

5. Les puissances. P = U²/R, avec U² = 24² = 576 V².

  • P1 = 576 / 60 = 9,6 W ; P2 = 576 / 120 = 4,8 W ; P3 = 576 / 40 = 14,4 W.
  • Puissance totale : 9,6 + 4,8 + 14,4 = 28,8 W. Contrôle : U × I = 24 V × 1,2 A = 28,8 W.
  • Part de R3 : 14,4 / 28,8 = 1/2. La résistance la plus faible reçoit le plus de courant, donc le plus de puissance.
Exercice 4

Les proportions chez Calvérac

Calcul et analyse

Document — L’effectif de Calvérac au 22/10/2026 (68 salariés) : direction et administration 7 ; bureau d’études 8 ; chargés d’affaires 4 ; chantiers 34 ; maintenance 11 ; automatisme et informatique industrielle 4.

Document — Chiffre d’affaires 2025 (9 600 000 € HT) : installations industrielles 46 % ; tertiaire 28 % ; maintenance 18 % ; énergies renouvelables et bornes de recharge 8 %.

  1. Calcule, en pourcentage arrondi au dixième, la proportion de salariés des chantiers, de la maintenance et de l’automatisme.

  2. Les métiers « techniques de terrain » regroupent les chantiers, la maintenance et l’automatisme. Calcule leur proportion de deux façons : à partir des effectifs, puis en additionnant les pourcentages de la question 1. Pourquoi a-t-on le droit d’additionner ici ?

  3. Calcule en euros le chiffre d’affaires des installations (industrie et tertiaire).

  4. Le contrat de maintenance de Quervany Immobilier représente 15 % du chiffre d’affaires de la maintenance. Quelle part du chiffre d’affaires total représente-t-il ? Donne le montant en euros.

  5. Bilal affirme : « Le contrat Quervany fait 18 % + 15 % = 33 % du chiffre d’affaires. » Explique son erreur.

  6. Sorbelin a livré 2 000 contacteurs à Calvérac en 2025 ; 4 ont été retournés pour défaut. Exprime la proportion de retours en pour mille, puis en pourcentage.

Voir le corrigé détaillé

1. Les proportions. Proportion = effectif de la partie / effectif total (68).

  • Chantiers : 34/68 = 0,5 = 50,0 %.
  • Maintenance : 11/68 ≈ 0,1618 = 16,2 %.
  • Automatisme : 4/68 ≈ 0,0588 = 5,9 %.

2. Les métiers de terrain.

  • Avec les effectifs : 34 + 11 + 4 = 49 salariés, et 49/68 ≈ 72,1 %.
  • Avec les pourcentages : 50,0 + 16,2 + 5,9 = 72,1 %.

On a le droit d’additionner car les trois pourcentages ont la même référence (les 68 salariés) et portent sur des groupes sans salarié commun : ce sont des pourcentages « parallèles ».

3. Le chiffre d’affaires des installations. 46 % + 28 % = 74 % (même référence). 0,74 × 9 600 000 € = 7 104 000 € HT. Contrôle : 4 416 000 + 2 688 000 = 7 104 000 €.

4. Le contrat Quervany. C’est un pourcentage de pourcentage : on multiplie.

  1. Part dans le total : 0,18 × 0,15 = 0,027 = 2,7 %.
  2. Montant : 0,027 × 9 600 000 € = 259 200 € HT.

5. L’erreur de Bilal. Les 15 % sont calculés sur le chiffre d’affaires de la maintenance, les 18 % sur le chiffre d’affaires total : les références sont différentes. On ne peut pas additionner ; il faut multiplier (question 4). D’ailleurs, le contrat est une partie de la maintenance : il ne peut pas peser plus que 18 % du total.

6. Les retours de contacteurs. 4/2 000 = 0,002, soit 2 ‰ (× 1 000) ou 0,2 % (× 100).

Exercice 5

L’évolution du prix de l’électricité

Calcul

Le prix d’achat de l’électricité des Papeteries Ternevault (fictif) vaut 0,16 € HT par kWh en 2025. Il augmente de 12,5 % en 2026, puis baisse de 4 % en 2027.

  1. Calcule le coefficient multiplicateur de chaque évolution, puis le prix en 2026 et en 2027.

  2. Calcule le coefficient multiplicateur global de 2025 à 2027 et le taux d’évolution global.

  3. Bilal annonce une hausse globale de 8,5 %. Explique son erreur.

  4. Calcule le taux d’évolution annuel moyen sur les deux ans, arrondi au centième de pourcent. Vérifie ton résultat.

  5. Quelle baisse en 2028 ramènerait le prix à son niveau de 2025 ? Arrondis au centième de pourcent.

  6. Après le relamping, la consommation de l’usine passe de 2 600 MWh en 2025 à 2 418 MWh, et on prévoit qu’elle reste à ce niveau en 2027. Calcule le coût de l’électricité en 2025 et en 2027, puis le taux d’évolution du coût. Montre qu’on retrouve ce taux en multipliant deux coefficients.

Voir le corrigé détaillé

1. Coefficients et prix.

  • Hausse de 12,5 % : CM1 = 1 + 0,125 = 1,125. Prix 2026 : 0,16 × 1,125 = 0,18 € HT/kWh.
  • Baisse de 4 % : CM2 = 1 − 0,04 = 0,96. Prix 2027 : 0,18 × 0,96 = 0,1728 € HT/kWh.

2. L’évolution globale. CM = CM1 × CM2 = 1,125 × 0,96 = 1,08. Taux global : 1,08 − 1 = 0,08 = +8 %. Contrôle : 0,16 × 1,08 = 0,1728 €.

3. L’erreur de Bilal. Il a additionné les taux : 12,5 − 4 = 8,5. Or la baisse de 4 % porte sur le prix de 2026 (0,18 €), pas sur celui de 2025 : les taux successifs ne s’additionnent pas, on multiplie les coefficients.

4. Le taux moyen. On cherche tm tel que (1 + tm)² = 1,08.

  1. 1 + tm = √1,08 ≈ 1,0392.
  2. tm ≈ +3,92 % par an.
  3. Vérification : 0,16 × 1,0392 × 1,0392 ≈ 0,1728 €. On retrouve le prix de 2027.

5. L’évolution réciproque. Pour revenir de 0,1728 € à 0,16 €, le coefficient vaut 0,16 / 0,1728 = 1/1,08 ≈ 0,9259, soit une baisse d’environ 7,41 %. Ce n’est pas une baisse de 8 % : la baisse se calcule sur un prix plus élevé.

6. Le coût de l’électricité.

  1. Coût 2025 : 2 600 MWh = 2 600 000 kWh ; 2 600 000 × 0,16 = 416 000 € HT.
  2. Coût 2027 : 2 418 000 kWh × 0,1728 €/kWh = 417 830,40 € HT.
  3. Taux d’évolution du coût : 417 830,40 / 416 000 − 1 ≈ +0,44 %.
  4. Avec les coefficients : la consommation est multipliée par 0,93 (−7 %) et le prix par 1,08 (+8 %). Le coût, produit de la consommation par le prix, est multiplié par 0,93 × 1,08 = 1,0044, soit +0,44 %.

Interprétation : la hausse du prix de 8 % est presque entièrement compensée par la baisse de consommation due au relamping.

Exercice 6

Les indices de consommation

Analyse

Le tableau donne la consommation annuelle d’électricité de Ternevault (2022 à 2024 : données fictives ; 2026 : prévision après le relamping).

Consommation annuelle de Ternevault
Année 2022 2023 2024 2025 2026
Consommation (MWh) 2 750 2 700 2 650 2 600 2 418

  1. Calcule les indices en base 100 en 2022, arrondis au centième.

  2. Interprète l’indice de 2026 par une phrase contenant un pourcentage.

  3. Calcule le taux d’évolution de 2025 à 2026 à partir des indices. Thierry Bouvet, le responsable maintenance de Ternevault, soustrait les indices et annonce « 6,62 % de baisse ». Explique pourquoi il se trompe.

  4. Calcule les indices de 2022 et de 2026 en base 100 en 2025.

  5. Calcule le taux d’évolution global de 2023 à 2025, puis le taux annuel moyen sur ces deux ans, arrondi au centième de pourcent.

  6. Si la consommation baissait ensuite de ce taux moyen chaque année, quelle serait la consommation de 2027 et son indice en base 100 en 2022 ?

  7. Au tableur, les années sont en B1:F1 et les consommations en B2:F2. Écris la formule à entrer en B3 pour obtenir l’indice base 100 en 2022, de façon qu’elle puisse être recopiée vers la droite.

Voir le corrigé détaillé

1. Les indices base 100 en 2022. Indice = consommation de l’année / 2 750 × 100.

Indices de consommation (base 100 en 2022)
Année 2022 2023 2024 2025 2026
Consommation (MWh) 2 750 2 700 2 650 2 600 2 418
Calcul 2 750 / 2 750 × 100 2 700 / 2 750 × 100 2 650 / 2 750 × 100 2 600 / 2 750 × 100 2 418 / 2 750 × 100
Indice 100 98,18 96,36 94,55 87,93

2. Interprétation. Indice 87,93 : 87,93/100 − 1 = −0,1207. La consommation prévue en 2026 est inférieure d’environ 12,07 % à celle de 2022.

3. De 2025 à 2026. Taux = I2026 / I2025 − 1 = 87,93 / 94,55 − 1 ≈ −7,0 % (on retrouve −182/2 600). Thierry soustrait les indices : 94,55 − 87,93 = 6,62. C’est un écart en points d’indice, pas un pourcentage. Un écart de points ne donne un pourcentage que s’il est calculé depuis la date de référence (indice 100). Entre deux autres dates, il faut diviser les indices.

4. Changement de base (2025 = 100). On divise par la consommation de 2025.

  • 2022 : 2 750 / 2 600 × 100 ≈ 105,77.
  • 2026 : 2 418 / 2 600 × 100 = 93,00.

5. Taux global et taux moyen de 2023 à 2025.

  1. Taux global : 2 600 / 2 700 − 1 ≈ −0,0370, soit −3,70 %. Coefficient global CM ≈ 0,9630.
  2. Taux moyen sur 2 ans : (1 + tm)² = CM, donc 1 + tm = √0,9630 ≈ 0,9813.
  3. tm ≈ −1,87 % par an. Contrôle : 2 700 × 0,9813 × 0,9813 ≈ 2 600.

6. La projection 2027. 2 418 × (1 − 0,0187) ≈ 2 372,8 ≈ 2 373 MWh. Indice base 100 en 2022 : 2 372,8 / 2 750 × 100 ≈ 86,28.

7. La formule du tableur. En B3 : =B2/$B$2*100. Recopiée vers la droite, elle devient =C2/$B$2*100, =D2/$B$2*100… Les $ bloquent la colonne et la ligne de la valeur de 2022, qui doit rester au dénominateur.

Piège

Soustraire des indices

Une différence d’indices s’exprime en points. Un taux d’évolution entre deux dates s’obtient en divisant les indices puis en retranchant 1.

Exercice 7

Lire l’état d’un module d’entrées

Application

Huit détecteurs du convoyeur C1 de la ligne 3 sont raccordés au module d’entrées tout ou rien de l’automate, sur les entrées 0 à 7. Un voyant allumé signifie que l’entrée vaut 1.

Les voyants du module d'entrées du convoyeur C1
Exercice 7 — Les voyants du module d'entrées du convoyeur C1 Module 8 entrées TOR (tout ou rien) — 24 V continu entrée 7 allumé entrée 6 éteint entrée 5 allumé entrée 4 allumé entrée 3 éteint entrée 2 éteint entrée 1 allumé entrée 0 éteint Voyant allumé : le détecteur raccordé à cette entrée est actionné (bit à 1).
Les voyants des entrées 7, 5, 4 et 1 sont allumés ; ceux des entrées 6, 3, 2 et 0 sont éteints.

  1. Écris l’octet qui représente l’état du module (bit 7 à gauche, bit 0 à droite), puis convertis-le en décimal.

  2. Plus tard, la supervision affiche la valeur décimale 77 pour ce module. Convertis 77 en binaire sur 8 bits par la méthode des divisions successives. Quelles entrées sont actives ?

  3. Combien de valeurs différentes un octet peut-il prendre ? Quelle est la plus grande ?

  4. L’automate compte les cartons sur deux postes. Les compteurs valent 0110 10012 et 0011 11002. Pose l’addition binaire, puis vérifie en décimal.

  5. Le compteur total est stocké sur un octet. Peut-il recevoir encore 100 cartons sans problème ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. L’octet du module. Les entrées 7, 5, 4 et 1 sont à 1, les autres à 0. De gauche (bit 7) à droite (bit 0) : 1011 0010.

En décimal, on additionne les poids des bits à 1 : 128 (bit 7) + 32 (bit 5) + 16 (bit 4) + 2 (bit 1) = 178.

2. La valeur 77. Divisions successives par 2, en notant les restes :

  1. 77 = 2 × 38 + 1
  2. 38 = 2 × 19 + 0
  3. 19 = 2 × 9 + 1
  4. 9 = 2 × 4 + 1
  5. 4 = 2 × 2 + 0
  6. 2 = 2 × 1 + 0
  7. 1 = 2 × 0 + 1

On lit les restes du dernier au premier : 100 1101, soit sur 8 bits 0100 1101. Contrôle : 64 + 8 + 4 + 1 = 77. Les bits à 1 sont aux rangs 6, 3, 2 et 0 : les entrées 6, 3, 2 et 0 sont actives.

3. Les valeurs d’un octet. 8 bits donnent 28 = 256 valeurs, de 0 à 255 (1111 1111).

4. L’addition des compteurs.

Addition binaire posée
b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0
Retenues 1 1 1 1
0110 1001 0 1 1 0 1 0 0 1
+ 0011 1100 0 0 1 1 1 1 0 0
= 1 0 1 0 0 1 0 1

De droite à gauche : b0 : 1 + 0 = 1 ; b1 : 0 + 0 = 0 ; b2 : 0 + 1 = 1 ; b3 : 1 + 1 = 10, on pose 0 et on retient 1 ; b4 : 0 + 1 + 1 = 10, on pose 0, retenue 1 ; b5 : 1 + 1 + 1 = 11, on pose 1, retenue 1 ; b6 : 1 + 0 + 1 = 10, on pose 0, retenue 1 ; b7 : 0 + 0 + 1 = 1.

Résultat : 1010 0101. Vérification en décimal : 0110 1001 = 64 + 32 + 8 + 1 = 105 ; 0011 1100 = 32 + 16 + 8 + 4 = 60 ; 105 + 60 = 165, et 1010 0101 = 128 + 32 + 4 + 1 = 165.

5. Encore 100 cartons ? 165 + 100 = 265, qui dépasse 255 : le résultat ne tient pas sur un octet (il faudrait 9 bits : 1 0000 1001). Non, le compteur déborderait ; il faut un compteur plus grand (par exemple sur 16 bits).

Exercice 8

Codes d’un variateur et d’un codeur

Analyse

Document — Mot d’état du variateur du convoyeur C1 (notice fictive). Le variateur (appareil qui règle la vitesse du moteur) affiche son état en hexadécimal sur un octet. Signification des bits : bit 0 « prêt » ; bit 1 « en marche » ; bit 2 « sens arrière » ; bit 3 « alerte de surcharge » ; bit 4 « défaut » ; bit 5 « limitation de courant active » ; bits 6 et 7 non utilisés.

  1. Le variateur affiche 2F. Convertis ce code en binaire sur 8 bits, puis en décimal. Quels bits valent 1 ? Décris l’état du variateur.

  2. Un autre jour, l’historique indique la valeur 17 en décimal. Convertis 17 en hexadécimal. Pourquoi ne faut-il pas lire ce code hexadécimal comme « onze » ? L’état était-il normal ?

  3. Pendant un démarrage, on lit dans un registre du variateur (une case mémoire) la vitesse de rotation du moteur estimée par le variateur, en tours par minute : 3E816. Convertis-la en décimal. La vitesse nominale du moteur est de 1 450 tours par minute : écris ce nombre en hexadécimal.

  4. Une roue codeuse de recette du palettiseur affiche 59 ; elle transmet ce nombre en code BCD. Écris ce code, puis l’écriture de 59 en binaire naturel sur 8 bits. Une autre roue transmet 0111 0100 en BCD : quel nombre affiche-t-elle ?

  5. La table tournante du palettiseur a un codeur absolu à 3 pistes en code Gray (suite : 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100 pour les positions 0 à 7). Le codeur transmet 110, puis 101. Quelles positions ces codes désignent-ils ?

  6. Explique pourquoi un codeur en binaire naturel risquerait de transmettre une position très fausse lors du passage de la position 3 à la position 4, et pourquoi le code Gray évite ce problème.

Voir le corrigé détaillé

1. Le code 2F. Chaque chiffre hexadécimal donne un quartet : 2 = 0010 et F = 15 = 1111. Donc 2F16 = 0010 1111. En décimal : 2 × 16 + 15 = 47 (contrôle : 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47).

Les bits à 1 sont les bits 0, 1, 2, 3 et 5. Le variateur est prêt et en marche, en sens arrière ; une alerte de surcharge est présente et la limitation de courant est active. Il n’y a pas de défaut (bit 4 à 0), mais le moteur force : la situation mérite d’être signalée à la maintenance.

2. La valeur 17. 17 = 16 × 1 + 1, donc 17 = 1116, soit 0001 0001 en binaire. Il ne faut pas lire « onze » : en hexadécimal, 1116 vaut 1 × 16 + 1 = 17. Les bits à 1 sont les bits 0 (prêt) et 4 (défaut). L’état n’était pas normal : un défaut était présent.

3. Les conversions.

  • 3E816 = 3 × 256 + 14 × 16 + 8 = 768 + 224 + 8 = 1 000 tours par minute : le moteur est en train d’accélérer vers sa vitesse de travail.
  • 1 450 en hexadécimal : 1 450 = 16 × 90 + 10 (A) ; 90 = 16 × 5 + 10 (A) ; 5 = 16 × 0 + 5. Lecture de bas en haut : 5AA16. Contrôle : 5 × 256 + 10 × 16 + 10 = 1 280 + 160 + 10 = 1 450.

4. Le code BCD.

  • 59 en BCD : 5 = 0101 et 9 = 1001, donc 0101 1001.
  • 59 en binaire naturel : 59 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1, donc 0011 1011.
  • 0111 0100 en BCD : 0111 = 7 et 0100 = 4, donc la roue affiche 74.

Le BCD ne se lit pas comme du binaire naturel : 0101 1001 lu en binaire naturel vaudrait 89, pas 59.

5. Les positions du codeur. Dans la suite donnée, 110 est le 5e code, donc la position 4 ; 101 est le 7e code, donc la position 6. Attention : en code Gray, 110 ne se lit pas comme le binaire naturel (qui donnerait 6).

6. Pourquoi le code Gray. En binaire naturel, la position 3 s’écrit 011 et la position 4 s’écrit 100 : les trois bits changent en même temps. Si les trois capteurs ne basculent pas exactement au même instant, l’automate peut lire pendant un court moment 111 (7), 000 (0) ou une autre valeur, très loin de la position réelle. En code Gray, deux positions voisines ne diffèrent que d’un seul bit (010 pour 3, 110 pour 4) : pendant la transition, on lit soit 3 soit 4, jamais une position éloignée.

Exercice 9

Note de calcul d’un câble

Calcul et analyse

Inès vérifie la liaison W1 qui alimente la boîte de jonction BJ-PAL du palettiseur, à 35 m de l’armoire, sous 24,0 V continu. La boîte consomme 2,50 A et accepte une tension de 20,4 V à 28,8 V (notice fictive). Le courant fait l’aller et le retour dans deux conducteurs en cuivre : la longueur de cuivre parcourue est donc 2 × 35 = 70 m. Dans les unités du SI, la résistivité du cuivre vaut ρ = 1,72 × 10−8 Ω·m. On rappelle R = ρ × L / S et U = R × I.

  1. Exprime une section de 1,5 mm² en m², en notation scientifique.

  2. Calcule la résistance de la boucle en 1,5 mm², en regroupant mantisses et puissances de dix. Donne le résultat arrondi au dix-millième d’ohm.

  3. Estime l’ordre de grandeur de cette résistance en arrondissant ρ à 2 × 10−8 Ω·m. Ton résultat de la question 2 est-il vraisemblable ?

  4. Calcule la chute de tension, la tension aux bornes de BJ-PAL et la chute de tension en pourcentage de 24,0 V. L’exigence de la notice est-elle respectée ? Avec quelle marge ?

  5. Antoine propose une section de 2,5 mm². Sans refaire tout le calcul, explique pourquoi la résistance est multipliée par la fraction 3/5. Calcule la nouvelle résistance, la nouvelle tension aux bornes de BJ-PAL et la nouvelle marge.

  6. Calcule le taux d’évolution de la résistance quand on passe de 1,5 mm² à 2,5 mm². Les pertes P = R × I² évoluent-elles du même pourcentage ? Calcule-les dans les deux cas.

  7. La pose du câble W1 a pris 5 h 45 min. Exprime cette durée en heures décimales.

Voir le corrigé détaillé

1. La section. 1 mm² = 10−6 m², donc S = 1,5 mm² = 1,5 × 10−6 m².

2. La résistance de la boucle.

Données : ρ = 1,72 × 10−8 Ω·m ; L = 70 m ; S = 1,5 × 10−6 m². Formule : R = ρ × L / S.

  1. Numérateur : 1,72 × 10−8 × 70 = (1,72 × 70) × 10−8 = 120,4 × 10−8.
  2. Quotient : (120,4 × 10−8) / (1,5 × 10−6) = (120,4 / 1,5) × 10−8−(−6) = 80,267 × 10−2.
  3. Résultat : R ≈ 0,8027 Ω.

3. L’ordre de grandeur. Avec ρ ≈ 2 × 10−8 : (2 × 10−8 × 70) / (1,5 × 10−6) = (140 / 1,5) × 10−2 ≈ 93 × 10−2 ≈ 0,9 Ω. L’ordre de grandeur est le dixième d’ohm à l’ohm : le résultat de 0,8 Ω est vraisemblable (l’estimation est un peu plus grande parce qu’on a arrondi ρ vers le haut).

4. Chute de tension et marge.

  1. Chute de tension : ΔU = R × I = 0,8027 Ω × 2,50 A ≈ 2,007 V.
  2. Tension à BJ-PAL : 24,0 V − 2,007 V ≈ 21,99 V.
  3. Chute relative : 2,007 / 24,0 ≈ 0,0836, soit 8,36 %.
  4. La notice exige au moins 20,4 V : 21,99 V ≥ 20,4 V, l’exigence est respectée, avec une marge de 21,99 − 20,4 ≈ 1,59 V.

5. Avec une section de 2,5 mm². R est proportionnelle à 1/S. Si S passe de 1,5 à 2,5 mm², R est multipliée par 1,5/2,5 = 15/25 = 3/5.

  1. Nouvelle résistance : 0,8027 × 3/5 ≈ 0,4816 Ω.
  2. Chute de tension : 0,4816 × 2,50 ≈ 1,204 V ; tension à BJ-PAL : 24,0 − 1,204 ≈ 22,80 V.
  3. Marge : 22,80 − 20,4 ≈ 2,40 V.

6. Évolutions.

  • Résistance : coefficient 3/5 = 0,6, soit un taux de 0,6 − 1 = −40 %.
  • Pertes en 1,5 mm² : P = 0,8027 × 2,50² = 0,8027 × 6,25 ≈ 5,02 W.
  • Pertes en 2,5 mm² : P = 0,4816 × 6,25 ≈ 3,01 W.
  • Le courant ne change pas, donc les pertes sont aussi multipliées par 0,6 : −40 % (3,01 / 5,02 ≈ 0,6).

7. La durée de pose. 5 h 45 min = 5 + 45/60 = 5,75 h.

Piège

La soustraction d'un exposant négatif

Dans 10−8 / 10−6, l’exposant vaut −8 − (−6) = −8 + 6 = −2, et non −14. Une erreur de signe ici rend la résistance 1012 fois trop petite.

Exercice 10

Entraînement E3 : le relamping de Ternevault

Entraînement E3

Situation d’évaluation de CCF — durée 55 minutes. La situation comporte deux exercices indépendants. La question A5 se traite avec un tableur (ou, à défaut, avec la fonction tableau de la calculatrice) : tu appelles l’examinateur pour lui montrer ta feuille de calcul, puis tu reportes tes résultats sur la fiche de résultats. Les données techniques sont fournies ; aucune connaissance d’électrotechnique n’est exigée.

Contexte. Les Papeteries Ternevault remplacent les 140 luminaires de leur atelier par des luminaires à LED. Calvérac Électricité réalise les travaux. Inès Morand prépare pour Sandrine Peltier, sa tutrice, les éléments chiffrés de l’offre.

Annexe 1 — Données de l’éclairage (fictives)

Les luminaires de l’atelier
Donnée Valeur
Nombre de luminaires 140
Puissance d’un luminaire actuel 400 W
Puissance d’un luminaire LED 150 W
Durée de fonctionnement 5 200 h par an
Consommation totale de l’usine en 2025 2 600 MWh
Coût des luminaires LED, pose comprise 420 € HT par luminaire

Annexe 2 — Prix d’achat de l’électricité (fictif) : 0,18 € HT par kWh en 2026 ; −4 % en 2027 ; puis +3 % par an en 2028, 2029 et 2030. On suppose que les heures de fonctionnement restent les mêmes chaque année.

Annexe 3 — Mot d’état du palettiseur (notice fictive). L’automate du palettiseur transmet un octet d’état. Bit 0 : en production ; bit 1 : palette en cours ; bit 2 : film d’emballage bientôt vide ; bit 3 : porte de la cellule ouverte ; bit 4 : arrêt d’urgence actionné ; bit 5 : demande d’évacuation de palette ; bit 6 : non utilisé ; bit 7 : mode manuel.

AExercice A — Les économies du relamping (6 points)

A1. Calcule la puissance totale de l’éclairage avant et après le relamping. Écris les deux résultats en watts, en notation scientifique.

A2. Quelle fraction de la puissance d’un luminaire est économisée ? Donne-la sous forme de fraction irréductible et en pourcentage.

A3. Calcule l’énergie économisée chaque année en kWh, puis en joules en notation scientifique (1 kWh = 3,6 × 106 J).

A4. Quelle proportion de la consommation de 2025 cette économie représente-t-elle ? Si toutes les autres consommations restent égales, quel est le taux d’évolution de la consommation de l’usine ?

A5. (Tableur ou calculatrice — appeler l’examinateur.) Construis un tableau donnant, pour chaque année de 2026 à 2030 : le prix du kWh, l’économie de l’année en euros et l’économie cumulée depuis 2026. Écris les formules utilisées pour le prix et pour le cumul. Reporte les résultats sur la fiche.

A6. Calcule le coût de l’investissement. En quelle année l’économie cumulée dépasse-t-elle ce coût ?

A7. Calcule le taux d’évolution de l’économie annuelle entre 2026 et 2030, de deux façons : avec les valeurs du tableau, puis avec le produit des coefficients multiplicateurs.

BExercice B — Le mot d’état du palettiseur (4 points)

B1. La supervision affiche le mot d’état A6 (en hexadécimal). Convertis-le en binaire sur 8 bits, puis en décimal.

B2. À l’aide de l’annexe 3, décris l’état du palettiseur.

B3. L’automate compte les palettes produites sur un octet. Il en a compté 0111 10002 le matin et 0101 00002 l’après-midi. Pose l’addition binaire. Écris le total en décimal et en hexadécimal.

B4. Le compteur peut-il encore recevoir 60 palettes ? Le palettiseur produit une palette toutes les 40 secondes : au bout de combien de temps (en heures et minutes) un compteur parti de 0 atteindrait-il sa valeur maximale de 255 ?

B5. Le compteur horaire du palettiseur affiche 1 234,6 h. Convertis cette durée en heures et minutes.

Fiche de résultats (question A5)

Fiche de résultats à compléter
Année 2026 2027 2028 2029 2030
Prix (€ HT/kWh) 0,18 … … … …
Économie de l’année (€ HT) … … … … …
Économie cumulée (€ HT) … … … … …

Formule du prix (cellule de 2027) : … Formule du cumul : …

Voir le corrigé détaillé

AExercice A — Les économies du relamping

A1. Les puissances.

  • Avant : 140 × 400 W = 56 000 W = 5,6 × 104 W.
  • Après : 140 × 150 W = 21 000 W = 2,1 × 104 W.

A2. La fraction économisée. Par luminaire : 400 − 150 = 250 W économisés sur 400 W. 250/400 = 25/40 = 5/8, soit 5 ÷ 8 = 0,625 = 62,5 %.

A3. L’énergie économisée.

  1. Puissance économisée : 56 000 − 21 000 = 35 000 W = 35 kW.
  2. Énergie par an : E = P × t = 35 kW × 5 200 h = 182 000 kWh.
  3. En joules : 182 000 × 3,6 × 106 J = 1,82 × 105 × 3,6 × 106 J = (1,82 × 3,6) × 1011 J ≈ 6,552 × 1011 J.

A4. Proportion et évolution.

  • Proportion de la consommation de 2025 : 182 000 kWh = 182 MWh ; 182 / 2 600 = 0,07 = 7 %.
  • Nouvelle consommation : 2 600 − 182 = 2 418 MWh ; taux d’évolution : (2 418 − 2 600) / 2 600 = −7 %.

A5. Le tableau (tableur). Disposition proposée : années en ligne 1 (B1 à F1), prix en ligne 2, économie en ligne 3, cumul en ligne 4.

  • Prix : B2 = 0,18 ; C2 = =B2*0,96 ; D2 = =C2*1,03, recopiée en E2 et F2.
  • Économie de l’année : B3 = =182000*B2, recopiée vers la droite.
  • Cumul : B4 = =B3 ; C4 = =B4+C3, recopiée vers la droite.
Fiche de résultats complétée
Année 2026 2027 2028 2029 2030
Prix (€ HT/kWh) 0,18 0,1728 0,1780 0,1833 0,1888
Économie de l’année (€ HT) 32 760,00 31 449,60 32 393,09 33 364,88 34 365,83
Économie cumulée (€ HT) 32 760,00 64 209,60 96 602,69 129 967,57 164 333,40

Les prix sont arrondis à quatre décimales dans la fiche ; le tableur calcule avec les valeurs exactes (0,177 984 ; 0,183 323 52 ; 0,188 823 23).

A6. Le retour sur investissement. Coût : 140 × 420 € = 58 800 € HT. En 2026, le cumul (32 760 €) est inférieur à 58 800 € ; en 2027, il atteint 64 209,60 € et le dépasse. L’investissement est remboursé au cours de 2027, la deuxième année.

A7. L’évolution de l’économie annuelle de 2026 à 2030.

  • Avec le tableau : 34 365,83 / 32 760 − 1 ≈ 0,0490, soit +4,90 %.
  • Avec les coefficients : l’économie est proportionnelle au prix, qui est multiplié par 0,96 puis trois fois par 1,03 : 0,96 × 1,03 × 1,03 × 1,03 ≈ 1,0490, soit +4,90 %.

BExercice B — Le mot d’état du palettiseur

B1. Le code A6. A = 10 = 1010 et 6 = 0110, donc A616 = 1010 0110. En décimal : 10 × 16 + 6 = 166 (contrôle : 128 + 32 + 4 + 2 = 166).

B2. L’état. Les bits à 1 sont les bits 1, 2, 5 et 7 : palette en cours, film d’emballage bientôt vide, demande d’évacuation de palette, mode manuel. Le bit 0 est à 0 : le palettiseur n’est pas en production automatique, ce qui est cohérent avec le mode manuel. Pas d’arrêt d’urgence ni de porte ouverte.

B3. L’addition. 0111 10002 = 64 + 32 + 16 + 8 = 120 ; 0101 00002 = 64 + 16 = 80.

En colonnes, de droite à gauche : bits 0 à 2 : 0 + 0 = 0 ; bit 3 : 1 + 0 = 1 ; bit 4 : 1 + 1 = 10, on pose 0, retenue 1 ; bit 5 : 1 + 0 + 1 = 10, on pose 0, retenue 1 ; bit 6 : 1 + 1 + 1 = 11, on pose 1, retenue 1 ; bit 7 : 0 + 0 + 1 = 1.

Résultat : 1100 10002, soit 128 + 64 + 8 = 200 en décimal et C816 en hexadécimal (1100 = C, 1000 = 8).

B4. La capacité du compteur. Il reste 255 − 200 = 55 palettes avant la valeur maximale : le compteur ne peut pas recevoir 60 palettes sans déborder. Partant de 0, il atteint 255 au bout de 255 × 40 s = 10 200 s. 10 200 / 3 600 ≈ 2,833 h, soit 2 h et 0,833 × 60 ≈ 50 min : 2 h 50 min. Contrôle : 2 × 3 600 + 50 × 60 = 10 200 s.

B5. Le compteur horaire. 1 234,6 h = 1 234 h + 0,6 × 60 min = 1 234 h 36 min.

Piège

Les heures décimales

1 234,6 h ne vaut pas 1 234 h 6 min : la partie décimale est une fraction d’heure qu’il faut multiplier par 60.

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