Mathématiques appliquées
Une fiche par chapitre : l’essentiel, les définitions, les méthodes et les pièges. La fiche du chapitre offert est en accès libre.
Proportions, pourcentages et parts
La fiche du chapitre 1
Une proportion est le quotient d’une partie par son tout, et tout se joue sur le choix du dénominateur ; pour annuler une hausse de 20 % on divise par 1,20 ; et un point mesure l’écart entre deux taux quand un pour cent mesure une évolution.
Proportion = partie ÷ tout. Donc partie = proportion × tout et tout = partie ÷ proportion : une seule égalité, retournée.
Deux questions avant tout calcul : quelle est la partie, quel est le tout ? Un pourcentage sans son dénominateur ne veut rien dire — 20 % des commandes et 32,30 % du montant décrivent les mêmes huit commandes.
Appliquer t % : multiplier par t/100. Retrouver la valeur d’avant : diviser par (1 + t/100) — jamais soustraire.
Pourcentage d’un pourcentage : on multiplie les coefficients. 30 % de 40 % font 12 %.
Point = écart entre deux taux · pour cent = évolution. De 8 % à 10 % : 2 points, soit 25 %.
Trois questions sur la même série, trois dénominateurs différents. Aucun des trois nombres ne répond à la question des deux autres.
| La question posée | Le calcul | Le résultat |
|---|---|---|
| Quelle part des 40 commandes de mars atteint au moins 3 000 € ? | 8 ÷ 40 | 20,00 % |
| Quelle part du chiffre d’affaires de mars ces 8 commandes représentent-elles ? | 30 660 ÷ 94 910 | 32,30 % |
| Quelle part de l’exercice le mois de mars représente-t-il ? | 94 910 ÷ 3 400 000 | 2,79 % |
Lis la deuxième ligne à côté de la première. Les huit plus grosses commandes ne font que 20 % du nombre de commandes, mais 32,30 % du montant. Un pourcentage sans son dénominateur ne veut rien dire — et un dirigeant qui entend « 20 % des commandes » n’entend pas du tout la même chose que « 32 % du chiffre d’affaires ».
Un tableau à double entrée. Trois pourcentages différents peuvent en être tirés, et ils répondent à trois questions.
| Entreprises | Collectivités | Total | |
|---|---|---|---|
| Vitrages | 14 | 6 | 20 |
| Menuiseries | 11 | 9 | 20 |
| Total | 25 | 15 | 40 |
Les trois lectures, sur la case « vitrages aux collectivités » (6 commandes) :
· En ligne : 6 ÷ 20 = 30 % — « parmi les commandes de vitrages, 30 % viennent de collectivités ».
· En colonne : 6 ÷ 15 = 40 % — « parmi les commandes des collectivités, 40 % portent sur des vitrages ».
· Sur le total : 6 ÷ 40 = 15 % — « les vitrages aux collectivités représentent 15 % de toutes les commandes ».
Trois nombres justes, trois phrases différentes. Le sujet précise toujours laquelle il attend — il faut le lire.
| Ce qu’on veut | La formule | Le point de vigilance |
|---|---|---|
| La proportion d’une partie | =B2/$B$8 |
Le dollar fige le total quand on recopie vers le bas — sans lui, la deuxième ligne diviserait par la mauvaise case |
| Appliquer un pourcentage | =B2*20% ou =B2*$C$1 |
Mettre le taux dans une cellule, jamais dans la formule : on le change une fois au lieu de vingt |
| Retrouver la valeur avant hausse | =B2/(1+$C$1) |
On divise, on ne soustrait pas — c’est le piège du chapitre |
| Un total | =SOMME(B2:B41) |
Vérifier que la plage couvre bien toutes les lignes |
| Compter selon un critère | =NB.SI(B2:B41;">=3000") |
Le critère est entre guillemets, avec l’opérateur à l’intérieur ; «
au moins » s’écrit >=, « plus de » s’écrit
> |
La première ligne vaut d’être comprise une fois pour
toutes. Un tableur recopié déplace les références :
B2/B8 devient B3/B9 à la ligne suivante, et
l’on divise par une cellule vide. Le signe dollar bloque la
référence — $B$8 reste $B$8 partout.
C’est l’erreur numéro un des situations d’évaluation, et elle se voit
immédiatement : la somme des pourcentages ne fait pas
100.
La taxe sur la valeur ajoutée d’une facture
| Étape | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Montant hors taxes de la facture | 2 400,00 € | |
| Taxe à 20 % | 2 400,00 € × 20 % | 480,00 € |
| Montant toutes taxes comprises | 2 400,00 € + 480,00 € | 2 880,00 € |
2 400,00 € hors taxes deviennent 2 880,00 € toutes taxes comprises.
Le geste inverse est celui que les copies ratent : pour retrouver le montant hors taxes à partir du montant toutes taxes comprises, on ne retire pas 20 % — on divise par 1,20. C’est l’objet du piège ci-dessous.
Répondre en épreuve
Écrire le calcul avant le résultat.
Donner l’arrondi demandé — deux décimales à défaut.
Mettre l’unité : %, €, points.
Rédiger la phrase de lecture — c’est elle qui prouve qu’on a compris le dénominateur.
Deux copies donnent 15 % ; celle qui écrit la phrase montre de quoi 15 % est la part.
Retirer 20 % n’annule pas une hausse de 20 %
2 880 ÷ 1,20 = 2 400, et non 2 880 × 0,80 = 2 304. La taxe est 20 % du hors taxes, pas du toutes taxes comprises.
La vérification en trois secondes
La somme des pourcentages fait-elle 100 ? Sinon : référence non figée, catégorie oubliée, ou élément compté deux fois. Avec des parts arrondies au centième, les arrondis n’expliquent qu’un écart de quelques centièmes de point.