1. Ce qu’est une proportion
Le calcul est en apparence trivial. Ce qui ne l’est pas, c’est de savoir par quoi on divise — et c’est là que se perdent les points.
AUne division, et deux questions
La proportion
Le quotient d’une partie par le tout dont elle est issue. Elle est toujours comprise entre 0 et 1, et on la multiplie par 100 pour l’exprimer en pourcentage.
Deux questions avant tout calcul, toujours les mêmes. 1. Quelle est la partie ? 2. Quel est le tout ? Une copie qui se trompe de dénominateur obtient un nombre juste au calcul et faux au sens — et c’est l’erreur la plus fréquente de tout le module.
Trois questions sur la même série, trois dénominateurs différents. Aucun des trois nombres ne répond à la question des deux autres.
| La question posée | Le calcul | Le résultat |
|---|---|---|
| Quelle part des 40 commandes de mars atteint au moins 3 000 € ? | 8 ÷ 40 | 20,00 % |
| Quelle part du chiffre d’affaires de mars ces 8 commandes représentent-elles ? | 30 660 ÷ 94 910 | 32,30 % |
| Quelle part de l’exercice le mois de mars représente-t-il ? | 94 910 ÷ 3 400 000 | 2,79 % |
Lis la deuxième ligne à côté de la première. Les huit plus grosses commandes ne font que 20 % du nombre de commandes, mais 32,30 % du montant. Un pourcentage sans son dénominateur ne veut rien dire — et un dirigeant qui entend « 20 % des commandes » n’entend pas du tout la même chose que « 32 % du chiffre d’affaires ».
La part des huit plus grosses commandes
| Étape | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Somme des 8 commandes d’au moins 3 000 € | 30 660 € | 30 660 € |
| Rapportée au total des 40 commandes | 30 660 € ÷ 94 910 € | 32,30 % |
Huit commandes sur quarante font près du tiers du chiffre d’affaires du mois.
C’est la concentration, et elle se mesure toujours de cette façon : on trie, on cumule, on rapporte au total. Retiens le geste, il resservira en statistique et en gestion.
La formule, dans les deux sens
Proportion = partie ÷ tout. Donc partie = proportion × tout, et tout = partie ÷ proportion.
Les trois formes sont la même égalité. Savoir la retourner évite d’apprendre trois formules — et c’est exactement ce qu’un sujet teste quand il donne la partie et le pourcentage, et demande le total.
BAppliquer et retrouver un pourcentage
Appliquer un pourcentage, c’est multiplier
Prendre t % d’une valeur V, c’est calculer V × t ÷ 100.
On multiplie donc par t/100, qu’on appelle le coefficient. Pour 20 % : coefficient 0,20. Pour 7,5 % : 0,075.
Au tableur, on écrit =V*t% ou =V*t/100.
Le signe % d’un tableur divise par cent :
=1000*20% donne 200. C’est commode et c’est une source
d’erreur si l’on écrit =1000*20 en croyant avoir tapé un
pourcentage.
La taxe sur la valeur ajoutée d’une facture
| Étape | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Montant hors taxes de la facture | 2 400,00 € | |
| Taxe à 20 % | 2 400,00 € × 20 % | 480,00 € |
| Montant toutes taxes comprises | 2 400,00 € + 480,00 € | 2 880,00 € |
2 400,00 € hors taxes deviennent 2 880,00 € toutes taxes comprises.
Le geste inverse est celui que les copies ratent : pour retrouver le montant hors taxes à partir du montant toutes taxes comprises, on ne retire pas 20 % — on divise par 1,20. C’est l’objet du piège ci-dessous.
Retirer 20 % n’annule pas une hausse de 20 %
C’est l’erreur la plus répandue du chapitre, et elle coûte de l’argent en entreprise.
Une facture de 2 880 € toutes taxes comprises, taxe à 20 %. Retirer 20 % donne 2 880 × 0,80 = 2 304 €. C’est faux.
Le bon raisonnement : le montant toutes taxes comprises vaut 1,20 fois le montant hors taxes. Donc le montant hors taxes vaut 2 880 ÷ 1,20 = 2 400 €.
Pourquoi les deux diffèrent : on ne prend pas 20 % de la même chose. La taxe est 20 % du hors taxes, pas 20 % du toutes taxes comprises. L’écart — 96 € ici — est ce qu’on appelle l’erreur de base.
Lis les deux dernières barres ensemble. 14 commandes sur 40 atteignent 2 500 €, soit 35,00 % du nombre — mais elles portent 49,65 % du montant. Un effectif et un montant ne se répartissent jamais de la même façon — et c’est précisément ce qu’un graphique d’effectifs ne montre pas.
2. Lire et construire une répartition
Un tableau de répartition est l’outil le plus courant du comptable. Encore faut-il savoir dans quel sens le lire.
ARépartition en ligne, en colonne, et totale
Un tableau à double entrée. Trois pourcentages différents peuvent en être tirés, et ils répondent à trois questions.
| Entreprises | Collectivités | Total | |
|---|---|---|---|
| Vitrages | 14 | 6 | 20 |
| Menuiseries | 11 | 9 | 20 |
| Total | 25 | 15 | 40 |
Les trois lectures, sur la case « vitrages aux collectivités » (6 commandes) :
· En ligne : 6 ÷ 20 = 30 % — « parmi les commandes de vitrages, 30 % viennent de collectivités ».
· En colonne : 6 ÷ 15 = 40 % — « parmi les commandes des collectivités, 40 % portent sur des vitrages ».
· Sur le total : 6 ÷ 40 = 15 % — « les vitrages aux collectivités représentent 15 % de toutes les commandes ».
Trois nombres justes, trois phrases différentes. Le sujet précise toujours laquelle il attend — il faut le lire.
Construire un tableau de répartition sans se tromper
Identifier le tout : de quelle population parle-t-on, et combien d’unités compte-t-elle ?
Vérifier que les parties sont exhaustives et disjointes : chaque élément appartient à une case, et à une seule.
Calculer chaque part en divisant par le tout choisi.
Vérifier que la somme fait 100 % — à l’arrondi près.
Nommer le tout dans le titre : « en % du nombre de commandes », « en % du chiffre d’affaires ». C’est cette mention qui rend le tableau lisible par quelqu’un d’autre.
L’étape 2 est celle qu’on saute. Si un client est à la fois entreprise et collectivité — un office public de l’habitat, par exemple —, il sera compté deux fois et la somme dépassera 100 %. Quand un total de pourcentages ne fait pas 100, la cause est presque toujours là, pas dans les arrondis.
BPourcentage d’un pourcentage, et points
Un pourcentage de pourcentage se multiplie
Prendre t % de t′ % d’un tout revient à prendre (t × t′) ÷ 100 pour cent de ce tout.
30 % de 40 % font 12 %, et non 70 % ni 1 200 %. On multiplie les coefficients : 0,30 × 0,40 = 0,12.
Le cas se présente tout le temps en gestion : 40 % du chiffre d’affaires vient des collectivités, et 30 % de ces ventes portent sur des vitrages → les vitrages vendus aux collectivités font 12 % du chiffre d’affaires total.
Le point de pourcentage
L’unité dans laquelle on exprime l’écart entre deux pourcentages. Passer de 8 % à 10 %, c’est une hausse de 2 points, et non de 2 %.
La confusion entre « points » et « pour cent » est un classique d’examen. Passer de 8 % à 10 % représente 2 points d’écart, mais 25 % d’augmentation (2 ÷ 8). Les deux affirmations sont vraies et ne disent pas la même chose : la première mesure un écart, la seconde une évolution.
Deux phrases pour un même fait
La marge nette de Verrières Sombret est passée de 1,6 % à 2,0 % du chiffre d’affaires.
· « La marge a gagné 0,4 point. » Exact. C’est l’écart entre les deux taux.
· « La marge a augmenté de 25 %. » Exact aussi : 0,4 ÷ 1,6 = 0,25.
· « La marge a augmenté de 0,4 %. » Faux — c’est la confusion, et elle donne un chiffre plus de soixante fois trop petit (0,4 point d’écart contre 25 % d’évolution).
Quand on parle d’un taux qui change, on emploie « points ». Quand on parle d’une quantité qui change, on emploie « pour cent ». Cette règle simple suffit à ne plus se tromper.
3. Au tableur, et en épreuve
L’épreuve se passe sur ordinateur. Autant savoir écrire les formules en même temps qu’on apprend les calculs.
ALes formules qui suffisent
| Ce qu’on veut | La formule | Le point de vigilance |
|---|---|---|
| La proportion d’une partie | =B2/$B$8 |
Le dollar fige le total quand on recopie vers le bas — sans lui, la deuxième ligne diviserait par la mauvaise case |
| Appliquer un pourcentage | =B2*20% ou =B2*$C$1 |
Mettre le taux dans une cellule, jamais dans la formule : on le change une fois au lieu de vingt |
| Retrouver la valeur avant hausse | =B2/(1+$C$1) |
On divise, on ne soustrait pas — c’est le piège du chapitre |
| Un total | =SOMME(B2:B41) |
Vérifier que la plage couvre bien toutes les lignes |
| Compter selon un critère | =NB.SI(B2:B41;">=3000") |
Le critère est entre guillemets, avec l’opérateur à l’intérieur ; «
au moins » s’écrit >=, « plus de » s’écrit
> |
La première ligne vaut d’être comprise une fois pour
toutes. Un tableur recopié déplace les références :
B2/B8 devient B3/B9 à la ligne suivante, et
l’on divise par une cellule vide. Le signe dollar bloque la
référence — $B$8 reste $B$8 partout.
C’est l’erreur numéro un des situations d’évaluation, et elle se voit
immédiatement : la somme des pourcentages ne fait pas
100.
La vérification qui prend trois secondes
Après tout tableau de répartition : la somme des pourcentages fait-elle 100 ?
Si oui, le dénominateur est probablement le bon. Si non, cherche dans cet ordre : une référence non figée, une catégorie oubliée, un élément compté deux fois. Avec des parts arrondies au centième, les arrondis n’expliquent qu’un écart de quelques centièmes de point.
BCe qu’on attend d’une réponse
Répondre à une question de pourcentage en épreuve
Écrire le calcul avant le résultat : « 6 ÷ 40 = 0,15 ». Un résultat seul ne rapporte pas les points du raisonnement.
Donner l’arrondi demandé — au centième, au dixième de point. À défaut d’indication, deux décimales.
Mettre l’unité :
%,€,points. Un nombre nu est ambigu.Rédiger une phrase de lecture : « 15 % des commandes de mars portent sur des vitrages vendus à des collectivités ». C’est elle qui prouve qu’on a compris le dénominateur.
La quatrième étape est celle qui distingue. Deux copies donnent 15 % ; celle qui écrit la phrase montre qu’elle sait de quoi 15 % est la part. En mathématiques appliquées, on note autant l’interprétation que le calcul — c’est ce qui distingue ces mathématiques des autres.
L’arrondi qu’on fait trop tôt
Arrondir en cours de calcul propage l’erreur.
On calcule une part de 32,98 %, on l’arrondit à 33 %, puis on l’applique à 3 400 000 € : on obtient 1 122 000 € au lieu de 1 121 320 €. 680 € d’écart, sur un seul arrondi.
La règle : on garde toutes les décimales jusqu’au bout, et l’on arrondit une seule fois, à la fin. Au tableur, c’est automatique — à condition de chaîner les cellules plutôt que de retaper les résultats affichés.
Les quatre phrases du chapitre
1. Avant tout calcul : quelle est la partie, quel est le tout ? Un pourcentage sans son dénominateur ne veut rien dire.
2. Pour annuler une hausse de 20 %, on divise par 1,20 — on ne retire pas 20 %.
3. Un point mesure l’écart entre deux taux ; un pour cent mesure une évolution. De 8 % à 10 % : 2 points, soit 25 %.
4. On arrondit une seule fois, à la fin — et l’on écrit toujours une phrase de lecture.