Compter en binaire et en hexadécimal

Démarche. Pour chaque nombre, on écrit la ligne des poids (1, 2, 4, 8… en partant de la droite) et on additionne les poids des positions qui portent un 1.

1. Conversions

1. 1101₂ : poids 8, 4, 2, 1 → 8 + 4 + 1 = 13.

2. 100000₂ : un seul 1, en position 5 → 2⁵ = 32.

3. 11111111₂ : huit 1 → 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. (C’est aussi 2⁸ − 1 = 256 − 1 : le plus grand nombre sur 8 bits.)

4. 1010 0101₂ :

128 + 32 + 4 + 1 = 165.

5. 0110 0100₂ : 64 + 32 + 4 = 100. (Le 0 de tête ne compte pas.)

6. 1 0000 0000₂ : un 1 suivi de huit 0 → 2⁸ = 256.

2. Parité. Sont pairs les nombres dont le dernier bit est 0 : b) 100000, e) 0110 0100 et f) 1 0000 0000. En effet, tous les poids sont pairs sauf le dernier (1) ; le nombre est donc impair seulement si le bit de poids 1 vaut 1. Contrôle : 32, 100 et 256 sont pairs ; 13, 255 et 165 sont impairs.

1. Divisions successives

37

Lecture de bas en haut : 37 = 100101₂.

84

Lecture de bas en haut : 84 = 1010100₂.

200

Lecture de bas en haut : 200 = 11001000₂.

2. 128 sans division. 128 = 2⁷ est une puissance de 2 : il s’écrit avec un 1 en position 7 suivi de sept 0, soit 10000000₂ (8 chiffres).

3. Contrôles par la somme des poids

• 100101₂ = 32 + 4 + 1 = 37 ✔
• 1010100₂ = 64 + 16 + 4 = 84 ✔
• 11001000₂ = 128 + 64 + 8 = 200 ✔

Contrôle de parité : 37 est impair et finit par 1 ; 84 et 200 sont pairs et finissent par 0.

Détail des calculs

1. 46 → base 2 par divisions : 46 ÷ 2 = 23 reste 0 ; 23 ÷ 2 = 11 reste 1 ; 11 ÷ 2 = 5 reste 1 ; 5 ÷ 2 = 2 reste 1 ; 2 ÷ 2 = 1 reste 0 ; 1 ÷ 2 = 0 reste 1. De bas en haut : 101110₂. Base 16 : paquets de 4 depuis la droite, 0010 | 1110 → 2 | E, soit 2E₁₆. Contrôle : 2 × 16 + 14 = 46.

2. 1011 1110₂ → base 16 directement : 1011 = B, 1110 = E, soit BE₁₆. Base 10 : 11 × 16 + 14 = 176 + 14 = 190 (ou 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 190).

3. 3C₁₆ → base 2 : 3 = 0011, C = 1100, soit 0011 1100₂ = 111100₂ après suppression des 0 de tête. Base 10 : 3 × 16 + 12 = 60.

4. 255 = 256 − 1 = 2⁸ − 1 : le plus grand nombre sur 8 bits, soit 1111 1111₂ = FF₁₆. Contrôle : 15 × 16 + 15 = 255.

5. A7₁₆ → base 2 : A = 1010, 7 = 0111, soit 1010 0111₂. Base 10 : 10 × 16 + 7 = 167.

6. 1 0010 1101₂ → base 16 : le paquet de gauche « 1 » devient 0001 → 1 ; 0010 → 2 ; 1101 → D, soit 12D₁₆. Base 10 : 1 × 256 + 2 × 16 + 13 = 256 + 32 + 13 = 301. Contrôle par les poids binaires : 256 + 32 + 8 + 4 + 1 = 301.

1. Nombre de valeurs avec n bits : 2ⁿ valeurs, de 0 à 2ⁿ − 1.

2. Nombre minimal de bits. On cherche la plus petite puissance 2ⁿ supérieure ou égale au nombre d’éléments.

On retrouve, en d), les 12 bits du champ VLAN des trames.

3. Lucas ou Sarah ? Sarah a raison. Avec 3 bits, on écrit 2³ = 8 valeurs : de 000₂ = 0 à 111₂ = 7.

• Si les établissements sont numérotés de 0 à 7, les 8 sites tiennent sur 3 bits.
• S’ils sont numérotés de 1 à 8 (comme dans le plan d’adressage, où le site n utilise 10.(40 + n)…), le n° 8 s’écrit 1000₂ : il faut 4 bits.

L’affirmation de Lucas confond le nombre de valeurs (8) et la plus grande valeur codable (7).

1. Vers la base 10. Poids après la virgule : 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,0625.

1. 11,1₂ = (2 + 1) + 0,5 = 3,5.

2. 1010,01₂ = (8 + 2) + 0,25 = 10,25.

3. 0,101₂ = 0,5 + 0,125 = 0,625.

4. 1,0011₂ = 1 + 0,125 + 0,0625 = 1,1875.

2. Vers la base 2

1. 9,75. Partie entière : 9 = 8 + 1 = 1001₂. Partie fractionnaire :

9,75 = 1001,11₂. Contrôle : 8 + 1 + 0,5 + 0,25 = 9,75.

2. 12,375. Partie entière : 12 = 8 + 4 = 1100₂. Partie fractionnaire :

12,375 = 1100,011₂. Contrôle : 8 + 4 + 0,25 + 0,125 = 12,375.

3. 0,6875.

0,6875 = 0,1011₂. Contrôle : 0,5 + 0,125 + 0,0625 = 0,6875.

3. Le cas de 0,2

Les 8 premiers chiffres : 0,2 = 0,00110011…₂. À la 5^e ligne, on retrouve 0,2, la valeur de départ : les calculs se répètent sans fin. L’écriture binaire de 0,2 est infinie et périodique (bloc 0011 répété). Ce n’est pas étonnant : 0,2 = 1/5, et 5 n’est pas une puissance de 2.

4. −5,5. On convertit 5,5 puis on remet le signe.

• 5,5 = 4 + 1 + 0,5 = 101,1₂, donc −5,5 = −101,1₂.
• En base 16 : 5 → 5 et 0,1₂ → paquet complété à droite 0,1000 → 8, donc −5,5 = −5,8₁₆. Contrôle : 5 + 8/16 = 5,5.

5. 45,75 en base 16.

• Partie entière : 45 ÷ 16 = 2 reste 45 − 32 = 13 → D ; 2 ÷ 16 = 0 reste 2. Donc 45 = 2D₁₆.
• Partie fractionnaire : 0,75 × 16 = 12, partie entière 12 → C, il ne reste rien.

45,75 = 2D,C₁₆. Contrôle par la base 2 : 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 101101₂ et 0,75 = 0,11₂, donc 45,75 = 101101,11₂ ; groupes de 4 à partir de la virgule : 0010 | 1101 , 1100 → 2D,C₁₆ ✔.

1. Écriture binaire, octet par octet sur 8 bits

1. 10.20.20.1 : 10 = 8 + 2 → 00001010 ; 20 = 16 + 4 → 00010100 ; 1 → 00000001.

10.20.20.1 = 00001010.00010100.00010100.00000001.

2. 172.20.0.1 : 172 = 128 + 32 + 8 + 4 → 10101100 ; 20 → 00010100 ; 0 → 00000000 ; 1 → 00000001.

172.20.0.1 = 10101100.00010100.00000000.00000001.

3. 10.44.30.1 : 44 = 32 + 8 + 4 → 00101100 ; 30 = 16 + 8 + 4 + 2 → 00011110.

10.44.30.1 = 00001010.00101100.00011110.00000001.

2. Lecture d’une adresse binaire

Adresse : 10.45.10.50. Le 2^e octet vaut 45 = 40 + 5 : c’est le site 5, Kervanet Remblai aux Sables-d’Olonne. Le 3^e octet vaut 10 : VLAN 10, gestion et réception. Le dernier octet vaut 50 et non 1 : ce n’est pas la passerelle, mais un équipement de ce réseau ; 50 est la première adresse de la plage distribuée par le serveur DHCP du site (.50 à .200) : c’est probablement le premier poste de la réception à avoir demandé une adresse.

3. Adresse impossible. Chaque octet d’une adresse IPv4 est codé sur 8 bits, donc compris entre 0 et 2⁸ − 1 = 255. Or 300 > 255 : 300 s’écrit 100101100₂, avec 9 bits. L’adresse 10.46.300.12 n’existe pas ; le technicien a probablement fait une faute de frappe.

4. Forme hexadécimale. Chaque octet s’écrit sur 2 chiffres hexadécimaux : 10 = 0A, 20 = 14, 20 = 14, 1 = 01. D’où 0A141401 (ou 0x0A141401). Contrôle : 14₁₆ = 16 + 4 = 20.

1. Couleur Sable #EAD9B5. Découpage en paires : EA | D9 | B5.

• Rouge : EA₁₆ = 14 × 16 + 10 = 224 + 10 = 234.
• Vert : D9₁₆ = 13 × 16 + 9 = 208 + 9 = 217.
• Bleu : B5₁₆ = 11 × 16 + 5 = 176 + 5 = 181.

2. Nouvelles couleurs. Chaque composante s’écrit sur 2 chiffres hexadécimaux.

• Gris foncé : 64 = 4 × 16 + 0 = 40₁₆ → #404040.
• Vert : 0 = 00₁₆ ; 128 = 8 × 16 + 0 = 80₁₆ ; 96 = 6 × 16 + 0 = 60₁₆ → #008060.

3. Nombre de couleurs. Trois composantes de 8 bits chacune, soit 24 bits : 2²⁴ = 16 777 216 couleurs (autre calcul : 256 × 256 × 256).

4. #1D5C7. Le code ne compte que 5 chiffres au lieu de 6 : une composante est incomplète. Le navigateur ne peut pas découper le code en trois paires et la couleur ne sera pas appliquée comme prévu. Il faut écrire #1D5C7A.

5. Océan en 24 bits. 1D → 0001 1101 ; 5C → 0101 1100 ; 7A → 0111 1010.

#1D5C7A = 00011101 01011100 01111010.

1. et 2. Correction ligne par ligne

Détail de la ligne 1 : 52 ÷ 2 = 26 reste 0 ; 26 ÷ 2 = 13 reste 0 ; 13 ÷ 2 = 6 reste 1 ; 6 ÷ 2 = 3 reste 0 ; 3 ÷ 2 = 1 reste 1 ; 1 ÷ 2 = 0 reste 1. Les restes de Lucas sont justes ; seule la lecture est inversée. Le contrôle de parité suffisait à voir l’erreur : 52 est pair, son écriture binaire doit finir par 0.

1. Plus grand code court. Avec 3 chiffres hexadécimaux, la plus grande valeur est FFF₁₆ = 15 × 256 + 15 × 16 + 15 = 3 840 + 240 + 15 = 4 095 (ou 16³ − 1 = 4 096 − 1). Le code maximal est K-FFF. Les numéros vont de 001 à FFF : on peut désigner 4 095 équipements (le numéro 0 n’étant pas utilisé).

2. Codes suivants. On ajoute 1 en base 16 : après F, le chiffre revient à 0 avec une retenue.

• K-09F → F + 1 provoque une retenue : 9 devient A → K-0A0.
• K-0FF → deux retenues successives → K-100.
• K-1A9 → 9 + 1 = A, pas de retenue → K-1AA.

3. Équipement n° 1000.

Calcul des restes : 62 × 16 = 992, 1 000 − 992 = 8 ; 3 × 16 = 48, 62 − 48 = 14.

1 000 = 3E8₁₆ → code court K-3E8. Contrôle : 3 × 256 + 14 × 16 + 8 = 768 + 224 + 8 = 1 000.

4. Code K-2C5. 2C5₁₆ = 2 × 256 + 12 × 16 + 5 = 512 + 192 + 5 = 709. Nadia doit chercher l’équipement n° 709.

5. Bits et comparaison. Chaque chiffre hexadécimal vaut 4 bits : 3 chiffres → 12 bits (16³ = 2¹² = 4 096 valeurs). Avec 3 chiffres décimaux, on n’aurait que 10³ = 1 000 valeurs (000 à 999), soit 999 équipements numérotés de 1 à 999. L’hexadécimal dispose de 16 symboles par caractère au lieu de 10 : sur la même longueur de code, il désigne environ quatre fois plus de numéros (4 095 contre 999).

AExercice A — Le plan d’adressage du nouveau site

A1. (2,5 points) Site 8 → 2^e octet = 40 + 8 = 48 ; VLAN 30 → 3^e octet = 30 ; passerelle en .1. Adresse : 10.48.30.1.

10.48.30.1 = 00001010.00110000.00011110.00000001.

A2. (1,5 point) Paquets de 4 bits de chaque octet : 0000 1010 → 0A ; 0011 0000 → 30 ; 0001 1110 → 1E ; 0000 0001 → 01. Forme hexadécimale : 0A301E01.

A3. (3 points) Divisions par 16 :

• 10 = 0 × 16 + 10 → A → 00A ;
• 20 = 1 × 16 + 4 → 014 ;
• 30 : 30 ÷ 16 = 1 reste 30 − 16 = 14 → E → 01E ;
• 40 = 2 × 16 + 8 → 028 ;
• 99 : 99 ÷ 16 = 6 reste 99 − 96 = 3 → 063.

Sur 12 bits (3 paquets de 4) : VLAN 10 = 00A₁₆, soit 0000 0000 1010 = 000000001010₂ ; VLAN 30 = 0000 0001 1110 = 000000011110₂. Contrôle : 16 + 8 + 4 + 2 = 30.

A4. (1,5 point) B7₁₆ : B → 1011, 7 → 0111, d’où 1011 0111₂ ; en décimal 11 × 16 + 7 = 176 + 7 = 183. Contrôle : 128 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 183.

A5. (1,5 point) Nombre maximal de bornes : 8 sites × 12 bornes = 96 (hypothèse de l’énoncé). On cherche la plus petite puissance de 2 au moins égale à 96 : 2⁶ = 64 < 96 ≤ 128 = 2⁷. Il faut 7 bits au minimum ; 6 bits ne donneraient que 64 numéros.

BExercice B — Les sondes des chambres froides

B1. (2 points) Trame 0000 0011 1100, découpée selon l’annexe : signe 0 | partie entière 0000011 | partie fractionnaire 1100.

• Signe 0 : température positive.
• Partie entière : 0000011₂ = 2 + 1 = 3.
• Partie fractionnaire : 0,1100₂ = 0,5 + 0,25 = 0,75.

Température : + 3,75 °C. Journal : 0000 | 0011 | 1100 → 0 | 3 | C → 03C.

B2. (2,5 points) 912₁₆ : 9 → 1001, 1 → 0001, 2 → 0010, soit 1001 0001 0010₂. Découpage : signe 1 | 0010001 | 0010.

• Signe 1 : température négative.
• Partie entière : 0010001₂ = 16 + 1 = 17.
• Partie fractionnaire : 0,0010₂ = 0,125.

Température : − 17,125 °C.

Remarque : le bit de signe est une convention propre à ces sondes, donnée par l’annexe. En mathématiques, un nombre négatif s’écrit avec le signe moins, quelle que soit la base : −17,125 = −10001,001₂.

B3. (2,5 points)

+ 4,5 °C : signe 0 ; 4 sur 7 bits = 0000100 ; 0,5 = 0,1₂ → 1000 sur 4 bits. Trame : 0 0000100 1000 = 0000 0100 1000₂ → 048₁₆.

− 18,25 °C : signe 1 ; 18 = 16 + 2 → 0010010 sur 7 bits ; 0,25 = 0,01₂ → 0100 sur 4 bits. Trame : 1 0010010 0100 = 1001 0010 0100₂ → 924₁₆.

Contrôle de la seconde : 9 → 1001, 2 → 0010, 4 → 0100 ; signe 1, partie entière 0010010₂ = 18, partie fractionnaire 0,0100₂ = 0,25 ✔.

B4. (1,5 point) Plus haute température : signe 0, partie entière maximale sur 7 bits 1111111₂ = 2⁷ − 1 = 127, partie fractionnaire maximale 0,1111₂ = 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 0,9375. Soit + 127,9375 °C (trame 7FF). Le plus petit écart correspond au dernier bit : 2⁻⁴ = 1/16 = 0,0625 °C.

B5. (1,5 point) 2,3 = 2 + 0,3. Or 0,3 n’a pas d’écriture binaire finie (0,3 × 2 = 0,6 → 0 ; 0,6 × 2 = 1,2 → 1 ; 0,2 × 2 = 0,4 → 0 ; puis le cycle de 0,2 se répète sans fin). Avec 4 chiffres après la virgule, les parties fractionnaires possibles sont des multiples de 1/16 : 0,3 × 16 = 4,8 n’est pas entier. 2,3 °C ne peut pas être transmis exactement.

Encadrement : 4/16 = 0,25 < 0,3 < 5/16 = 0,3125, donc 2,25 < 2,3 < 2,3125 (trames 024 et 025). La valeur 2,3125 est la plus proche (écart 0,0125 contre 0,05) ; le choix d’un arrondi est étudié au chapitre MATH-02.