Mathématiques pour l'informatique

L’essentiel

• Numération de position : en base b (b ≥ 2), b chiffres de 0 à b − 1 ; poids des positions b⁰ = 1, b¹, b²… et, après la virgule, b⁻¹, b⁻²… L’écriture d’un entier dans une base est unique. Toujours indiquer la base : 101111₂ = 2F₁₆ = 47 (0b101111, 0x2F).
• Base 2 : poids 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024 ; 2¹⁶ = 65 536. Un binaire est pair si son dernier bit vaut 0.
• Base 16 : chiffres 0 à 9 puis A à F (10 à 15) ; poids 1, 16, 256, 4 096. Comme 16 = 2⁴, un chiffre hexadécimal = 4 bits ; un octet = 2 chiffres hexadécimaux (00 à FF).
• Avec n bits : 2ⁿ valeurs, de 0 à 2ⁿ − 1.
• Virgule : écriture binaire finie seulement pour une fraction de dénominateur puissance de 2 (0,375 ; 0,8125) ; 0,1 a une écriture binaire infinie, la machine en garde une valeur approchée.
• Négatifs : signe moins devant l’écriture, dans toute base (−18 = −10010₂ = −12₁₆) ; le codage machine des négatifs n’est pas au programme.
• Codes : IPv4 = 4 octets de 0 à 255 (décimal pointé) ; MAC = 48 bits, IPv6 = 128 bits (hexadécimal) ; VLAN sur 12 bits ; couleur #RRVVBB ; ASCII A = 65, a = 97 ; 1 ko = 10³ o, 1 Kio = 2¹⁰ o.

Les définitions clés

• Bit / octet : plus petite unité d’information, 0 ou 1 / groupe de 8 bits.
• Poids d’une position : puissance de la base attachée à la position (1 pour la position 0).
• Écriture en base b : N = a_n × bⁿ + … + a₁ × b¹ + a₀ × b⁰, chiffres a_i de 0 à b − 1, premier chiffre non nul.

Formules et méthodes

Base 2 ou 16 → base 10 : somme des chiffres × poids. 11010110₂ = 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 214 ; 7EA₁₆ = 7 × 256 + 14 × 16 + 10 = 2 026.

Base 10 → base 2 ou 16 (divisions successives) :

1. Diviser par 2 (ou 16) ; noter quotient et reste.
2. Recommencer avec le quotient jusqu’à un quotient nul.
3. Lire les restes de bas en haut (10 à 15 → A à F).
4. Contrôler par la conversion inverse et la parité.

Autre méthode en base 2 : soustraire les puissances de 2 de la plus grande à 2⁰, en écrivant 1 ou 0 sous chaque poids.

Binaire ↔︎ hexadécimal : groupes de 4 bits à partir de la virgule, complétés par des 0 à l’extérieur ; chaque chiffre hexadécimal redonne 4 bits (5 → 0101). 101110010₂ = 0001 0111 0010 = 172₁₆.

Partie fractionnaire → base 2 (ou 16) : multiplier par 2 (ou 16) ; la partie entière du produit est le chiffre suivant ; recommencer avec la partie fractionnaire ; lire de haut en bas (0,8125 = 0,1101₂).

Nombre de bits pour N valeurs : plus petite puissance 2ⁿ ≥ N ; 2⁸ = 256 < 370 ≤ 512 = 2⁹ : 9 bits pour 370 valeurs.

Les 3 pièges à éviter

1. Lire les restes de haut en bas : le premier reste est le chiffre de droite.
2. Oublier des 0 : sous une puissance « sautée », en tête d’un groupe de 4 bits, dans un octet IPv4 (1 → 00000001).
3. Confondre nombre de valeurs et plus grande valeur : 8 bits donnent 256 valeurs, de 0 à 255.