Proportions, pourcentages et parts

a. 14 ÷ 40 = 0,35 → 35,00 %.

« 35,00 % des commandes de mars atteignent 2 500 €. »

b. 47 120 ÷ 94 910 = 0,496470… → 49,65 %.

« Ces commandes représentent 49,65 % du chiffre d’affaires du mois. »

Et voilà l’essentiel de l’exercice : 35,00 % des commandes font 49,65 % du montant. Le même sous-ensemble, deux dénominateurs, deux nombres très différents. Un dirigeant à qui l’on dit « un peu plus du tiers des commandes » et un dirigeant à qui l’on dit « près de la moitié du chiffre d’affaires » ne prennent pas la même décision.

c. 94 910 ÷ 3 400 000 = 0,027914… → 2,79 %.

« Le mois de mars représente 2,79 % du chiffre d’affaires annuel. »

Remarque utile : un douzième vaudrait 8,33 %. Mars est donc un mois très faible, ce qui confirme le caractère saisonnier de l’activité.

d. 94 910 ÷ 40 = 2 372,75 → 2 372,75 €.

« La commande moyenne de mars s’élève à 2 372,75 €. »

e. 47 120 ÷ 14 = 3 365,714… → 3 365,71 €.

« Une commande d’au moins 2 500 € vaut en moyenne 3 365,71 €. »

Attention au piège des questions d et e : ce ne sont pas des pourcentages, ce sont des moyennes. Le sujet mélange les deux exprès — et une copie qui répond « 40 % » à la question d n’a pas lu.

Dernière remarque, et elle compte : la moyenne des grosses commandes (3 365,71 €) dépasse de 42 % la moyenne générale (2 372,75 €). C’est ce genre d’écart qui fait qu’une moyenne seule ne décrit jamais bien une série — le chapitre 8 y reviendra.

a. Oui, la facture est exacte.

7 450 × 1,20 = 8 940 €. Le calcul est juste.

b. L’erreur du client : il ne prend pas 20 % de la même chose.

La phrase à lui écrire : « la taxe représente 20 % du montant hors taxes, pas 20 % du montant toutes taxes comprises — et le montant toutes taxes comprises est plus grand. »

Autrement dit : on a ajouté 20 % de 7 450, soit 1 490 €. Le client, lui, retire 20 % de 8 940, soit 1 788 € — 298 € de trop, parce qu’il applique le taux à une base plus grande.

Le bon calcul inverse : 8 940 ÷ 1,20 = 7 450 €.

c. L’écart et le bon pourcentage.

· L’écart : 7 450 − 7 152 = 298 €. Et l’on retrouve bien les 298 € de la question b.

· Le pourcentage à retirer : la taxe de 1 490 € rapportée au montant toutes taxes comprises fait 1 490 ÷ 8 940 = 0,16666… → 16,67 %.

Il faudrait donc retirer 16,67 %, et non 20 %. On peut le retenir une fois pour toutes : avec une taxe à 20 %, la taxe représente un sixième du montant toutes taxes comprises — 1 ÷ 6 = 16,67 %. C’est un repère commode pour vérifier une facture de tête.

Vérification : 8 940 × (1 − 0,166667) = 8 940 × 0,833333 = 7 450 €. ✓

d. Les formules de tableur.

Avec le taux dans la cellule C1 (20 %), le hors taxes en B2 et le toutes taxes comprises en D2 :

· Du hors taxes vers le toutes taxes comprises : =B2*(1+$C$1)

· Du toutes taxes comprises vers le hors taxes : =D2/(1+$C$1)

· Le montant de la taxe seule : =D2-D2/(1+$C$1) ou plus simplement =B2*$C$1

Le dollar sur $C$1 est indispensable : sans lui, recopier la formule sur cinquante lignes de facture irait chercher le taux en C2, C3, C4 — c’est-à-dire dans des cellules vides. Toutes les lignes afficheraient alors le montant hors taxes inchangé, et l’erreur passerait inaperçue.

a. Les deux lectures.

· En points : 42 − 46 = − 4 points. C’est l’écart direct entre les deux pourcentages.

· En pour cent : (42 − 46) ÷ 46 = − 0,08695… → − 8,70 %. C’est l’évolution de la part elle-même.

Ce que chacun signifie. « La part des vitrages a perdu 4 points » décrit l’écart dans la répartition. « La part des vitrages a diminué de 8,70 % » décrit de combien cette part a reculé relativement à ce qu’elle était.

Les deux sont exactes. Ce qui serait faux, c’est « la part a baissé de 4 % » — la confusion classique.

b. Le chiffre d’affaires des vitrages a-t-il baissé ?

· En N−1 : 3 180 000 × 46 % = 1 462 800 €.

· En N : 3 400 000 × 42 % = 1 428 000 €.

· Évolution : (1 428 000 − 1 462 800) ÷ 1 462 800 = − 0,023789… → − 2,38 %.

Oui, le chiffre d’affaires des vitrages a baissé — mais de 2,38 %, et non de 8,70 %.

C’est tout l’intérêt de la question. La part a reculé de 8,70 % et le montant de 2,38 % seulement, parce que le total a progressé de 3 180 000 à 3 400 000, soit + 6,92 %. Une part qui diminue ne signifie pas un montant qui diminue — et dans beaucoup de cas, le montant augmente pendant que la part recule.

c. Qui progresse le plus ?

· En part : pose et service, de 16 % à 19 %, soit + 3 points, ou + 18,75 % de sa part. Les menuiseries ne gagnent qu’un point.

· En montant :

· Pose et service : 3 180 000 × 16 % = 508 800 € → 3 400 000 × 19 % = 646 000 €, soit + 137 200 € et + 26,97 %.

· Menuiseries : 3 180 000 × 38 % = 1 208 400 € → 3 400 000 × 39 % = 1 326 000 €, soit + 117 600 € et + 9,73 %.

· Les deux réponses désignent la même activité — pose et service — mais elles ne le disent pas avec la même force : + 3 points paraît modeste, + 26,97 % ne l’est pas.

Et l’on notera que les menuiseries gagnent 117 600 € alors qu’elles ne gagnent qu’un point de part : le point de part est un très mauvais indicateur de la contribution réelle à la croissance.

d. Les trois phrases d’analyse.

« Notre chiffre d’affaires progresse de 6,92 %, de 3 180 000 € à 3 400 000 €. »

« Les vitrages reculent de 2,38 % en montant — 34 800 € de moins — et perdent 4 points de part : ils restent notre première activité, mais ils ne portent plus la croissance. »

« La pose et le service progressent de 26,97 %, soit 137 200 € : à eux seuls, ils expliquent 62 % de la croissance du chiffre d’affaires (137 200 ÷ 220 000). C’est notre relais de croissance, et il mérite d’être doté en conséquence. »

Remarque de méthode : la dernière phrase rapporte la croissance d’une activité à la croissance totale, et non au chiffre d’affaires total. C’est un troisième dénominateur, et c’est celui qui répond à la question « qui nous fait grandir ? ».

a. Les taux de transformation.

· Amiens : 63 ÷ 180 = 0,35 → 35,00 %
· Beauvais : 54 ÷ 120 = 0,45 → 45,00 %
· Compiègne : 33 ÷ 100 = 0,33 → 33,00 %
· Ensemble : 150 ÷ 400 = 0,375 → 37,50 %

Le tout, ici, ce sont les devis envoyés. Le taux de l’ensemble n’est pas la moyenne des trois taux : il se recalcule sur les totaux.

b. La part de chaque agence dans le chiffre d’affaires.

· Amiens : 611 100 ÷ 1 440 000 = 0,424375 → 42,44 %
· Beauvais : 442 800 ÷ 1 440 000 = 0,307500 → 30,75 %
· Compiègne : 386 100 ÷ 1 440 000 = 0,268125 → 26,81 %

Contrôle : 42,44 + 30,75 + 26,81 = 100,00 %. Le compte est juste, aux arrondis près.

c. Deux moyennes, deux dénominateurs.

Le montant moyen d’un devis accepté — on divise par les devis acceptés :

· Amiens : 611 100 ÷ 63 = 9 700,00 €
· Beauvais : 442 800 ÷ 54 = 8 200,00 €
· Compiègne : 386 100 ÷ 33 = 11 700,00 €
· Ensemble : 1 440 000 ÷ 150 = 9 600,00 €

Le chiffre d’affaires par devis envoyé — on divise par les devis envoyés :

· Amiens : 611 100 ÷ 180 = 3 395,00 €
· Beauvais : 442 800 ÷ 120 = 3 690,00 €
· Compiègne : 386 100 ÷ 100 = 3 861,00 €
· Ensemble : 1 440 000 ÷ 400 = 3 600,00 €

On peut retrouver la seconde à partir de la première : 0,33 × 11 700 = 3 861,00 €. Le chiffre d’affaires par devis envoyé est le produit du taux de transformation par le montant moyen d’une affaire. C’est le seul indicateur qui tienne compte des deux.

d. Les devis supplémentaires de Compiègne.

Chaque devis envoyé rapporte en moyenne 3 861,00 € à Compiègne.

180 000 ÷ 3 861 = 46,62… → 47 devis supplémentaires.

Vérification : 47 × 3 861 = 181 467,00 €, soit un peu plus que l’objectif. On arrondit toujours à l’entier supérieur : 46 devis ne rapporteraient que 46 × 3 861 = 177 606,00 €, et l’objectif serait manqué.

e. Ce qu’il faut répondre au dirigeant.

Beauvais transforme le mieux, mais rapporte le moins par devis envoyé.

Le raisonnement en trois temps :

· Le taux de transformation ne mesure qu’un nombre de dossiers, pas des euros. Beauvais gagne 45 % de ses dossiers, mais ses affaires sont les plus petites : 8 200,00 € en moyenne, contre 11 700,00 € à Compiègne.
· Rapporté aux devis envoyés, Beauvais apporte 3 690,00 € quand Compiègne en apporte 3 861,00 € — soit 4,63 % de plus : (3 861 − 3 690) ÷ 3 690 = 0,046341… → + 4,63 %.
· Dans le chiffre d’affaires, Beauvais ne pèse que 30,75 % contre 42,44 % pour Amiens.

La phrase à écrire : « Beauvais transforme le mieux, Compiègne rapporte le plus par devis envoyé, Amiens pèse le plus dans le chiffre d’affaires. Trois classements différents parce que trois dénominateurs différents — et aucun des trois n’est faux. »

Ce que l’exercice enseigne : changer de dénominateur change le classement. Avant de désigner une meilleure agence, il faut dire meilleure pour quoi.

a. Une marge, deux taux.

La marge en euros : 1 024 − 640 = 384,00 €.

· Taux de marque — le tout est le prix de vente : 384 ÷ 1 024 = 0,375 → 37,50 %.
· Taux de marge — le tout est le coût d’achat : 384 ÷ 640 = 0,60 → 60,00 %.

Même marge, deux nombres, parce que deux dénominateurs. Le commercial a en tête le second.

b. Le prix toutes taxes comprises.

1 024 × 1,20 = 1 228,80 €.

c. Ce que coûte la remise.

Nouveau prix : 1 024 × 0,875 = 896,00 € hors taxes.

Nouvelle marge : 896 − 640 = 256,00 €.

Évolution de la marge : (256 − 384) ÷ 384 = − 0,333333… → − 33,33 %.

Nouveaux taux : marque 256 ÷ 896 = 0,285714… → 28,57 % ; marge 256 ÷ 640 = 0,40 → 40,00 %.

Voilà le cœur de l’exercice : une remise de 12,5 % du prix fait perdre 33,33 % de la marge. Le rapport est de un à plus de deux et demi — 33,33 ÷ 12,5 = 2,67 —, et il n’a rien de mystérieux : la remise se prend sur le prix, la perte se constate sur la marge, et la marge est bien plus petite que le prix.

d. Le prix plancher.

Si la marge doit représenter 30 % du prix, alors le coût d’achat en représente 70 %.

640 ÷ 0,70 = 914,2857… → 914,29 € (arrondi au centime supérieur, pour ne pas passer sous les 30 %).

Contrôle : 914,29 − 640 = 274,29 € de marge, et 274,29 ÷ 914,29 = 0,300003… → 30,00 %. ✓

Remise maximale : (1 024 − 914,29) ÷ 1 024 = 109,71 ÷ 1 024 = 0,107138… → 10,71 % (arrondi au centième par défaut, pour rester du bon côté).

Le commercial demandait 12,5 %. Le plafond est à 10,71 %.

e. La réponse du responsable.

Il n’y a pas un seul texte attendu. Ce qui est attendu, c’est que les trois idées y soient, et qu’elles soient chiffrées. Par exemple :

« Tes 60 % ne sont pas rapportés au prix de vente mais au coût d’achat. Sur le prix, la marge ne pèse que 37,50 % : 384,00 € sur 1 024,00 €. »

« Une remise de 12,5 % ramène le prix à 896,00 € et la marge à 256,00 €. Tu ne perds pas 12,5 % de marge, tu en perds 33,33 % — il faudrait vendre une fois et demie plus de châssis pour retrouver le même résultat. »

« Si tu veux garder un taux de marque de 30 %, ton prix plancher est de 914,29 €, soit 10,71 % de remise au maximum. Au-delà, il me faut un accord. »

Ce qui serait insuffisant : écrire « non, c’est trop » sans le chiffre. L’épreuve ne demande pas une opinion, elle demande une lecture du calcul — et le calcul, ici, dit précisément de combien le commercial se trompe.