Les bases de l'électricité

1. Le tableau complété.

2. Les conversions. Méthode : remplace le préfixe par sa puissance de dix (m = 10⁻³, k = 10³).

1. 50 mA = 50 × 10⁻³ A = 0,050 A.

2. 4,7 kΩ = 4,7 × 10³ Ω = 4 700 Ω.

3. 1 kWh = 3,6 × 10⁶ J, donc 2,5 kWh = 2,5 × 3,6 × 10⁶ J = 9 000 000 J = 9 MJ.

4. 0,48 A = 0,48 × 1 000 mA = 480 mA.

5. 20 kV = 20 × 10³ V = 20 000 V.

6. 1 408 A = 1 408 / 1 000 kA = 1,408 kA.

3. Le classement. On convertit tout en ampères : 23,5 kA = 23 500 A ; 50 mA = 0,050 A ; 30 mA = 0,030 A. Du plus faible au plus fort : 30 mA < 50 mA < 1,5 A < 232 A < 23,5 kA. Ce sont, dans l’ordre, un détecteur, une bobine de relais, un automate, un moteur de 132 kW et un court-circuit au secondaire du transformateur de Ternevault.

Démarche. Loi d’Ohm en convention récepteur : U = R × I, d’où I = U / R et R = U / I. On convertit d’abord en V, A et Ω.

1. Données : U = 24 V ; R = 480 Ω. Formule : I = U / R. Calcul : I = 24 V / 480 Ω = 0,05 A. Résultat : I = 0,050 A = 50 mA.

2. Données : U = 12 V ; R = 1,2 kΩ = 1 200 Ω. Calcul : I = 12 V / 1 200 Ω = 0,01 A. Résultat : I = 10 mA.

3. Données : U = 24 V ; I = 0,6 A. Formule : R = U / I. Calcul : R = 24 V / 0,6 A. Résultat : R = 40 Ω.

4. Données : R = 0,8 Ω ; I = 2,5 A. Formule : U = R × I. Calcul : U = 0,8 Ω × 2,5 A. Résultat : U = 2 V. Sur une alimentation de 24 V, cela représente 2 / 24 ≈ 8 % de la tension : ce n’est pas négligeable.

1. Puissance d’une colonne. P = U × I = 24 V × 0,1 A = 2,4 W.

2. Énergie et coût.

1. Durée de fonctionnement : t = 24 h × 365 = 8 760 h.
2. Énergie d’une colonne : E = P × t = 2,4 W × 8 760 h = 21 024 Wh = 21,024 kWh, soit environ 21 kWh.
3. Énergie des deux colonnes : 2 × 21,024 = 42,048 kWh.
4. Coût des deux colonnes : 42,048 kWh × 0,16 €/kWh ≈ 6,73 € HT par an.

3. La résistance chauffante.

• Courant : I = P / U = 50 W / 24 V ≈ 2,08 A.
• Résistance : R = U² / P = 24² / 50 = 576 / 50 = 11,52 Ω. Contrôle : R = U / I = 24 / 2,0833 ≈ 11,52 Ω.

4. Énergie d’une nuit. E = P × t = 50 W × 8 h = 400 Wh = 0,4 kWh.

5. Le relamping et les priorités.

1. Puissance économisée : 140 × (400 W − 150 W) = 140 × 250 W = 35 000 W = 35 kW.
2. Énergie économisée : 35 kW × 5 200 h = 182 000 kWh.
3. Économie : 182 000 × 0,16 = 29 120 € HT par an.

Le relamping économise environ 29 120 / 6,73 ≈ 4 300 fois plus que le coût total des colonnes. Conclusion : les économies d’énergie se cherchent d’abord sur les gros consommateurs (éclairage d’atelier, moteurs, air comprimé), pas sur les petits circuits de commande. Le diagnostic énergétique est traité au chapitre U5-05.

Démarche. On simplifie le réseau de l’intérieur vers l’extérieur : d’abord le groupe parallèle, puis la série.

1. R₂ et R₃ en parallèle. R₂₃ = (R₂ × R₃) / (R₂ + R₃) = (30 × 60) / (30 + 60) = 1 800 / 90 = 20 Ω. Contrôle : 20 Ω est bien plus petit que 30 Ω, la plus petite des deux.

2. Résistance équivalente entre A et B. R₁ est en série avec R₂₃ : R_éq = 10 + 20 = 30 Ω.

3. Courant et tensions.

• I = U_AB / R_éq = 24 V / 30 Ω = 0,8 A.
• U₁ = R₁ × I = 10 Ω × 0,8 A = 8 V.
• U₂₃ = R₂₃ × I = 20 Ω × 0,8 A = 16 V.
• Contrôle par la loi des mailles : 8 V + 16 V = 24 V.

4. Courants des branches. R₂ et R₃ ont la même tension U₂₃ = 16 V.

• I₂ = 16 V / 30 Ω ≈ 0,533 A.
• I₃ = 16 V / 60 Ω ≈ 0,267 A.
• Loi des nœuds : I₂ + I₃ = 0,533 + 0,267 = 0,800 A = I.

La plus petite résistance est traversée par le plus grand courant : R₂ deux fois plus petite que R₃ reçoit un courant deux fois plus grand.

5. Puissances.

U_AB × I = 24 V × 0,8 A = 19,2 W : la somme des puissances reçues est égale à la puissance fournie au réseau.

1. Courant. I = P / U = 60 W / 24 V = 2,5 A.

2. Câble de 1,5 mm².

1. Un conducteur : R = ρ × L / S = 0,0172 × 18 / 1,5 = 0,2064 Ω.
2. Boucle aller-retour : 2 × 0,2064 = 0,4128 Ω.
3. Chute de tension : ΔU = 0,4128 Ω × 2,5 A = 1,032 V (soit 4,3 % de 24 V).
4. Tension aux rubans : 24,0 − 1,032 = 22,97 V.

Conclusion : 22,97 V < 23,0 V. L’exigence de la notice n’est pas respectée, de très peu.

3. Câble de 2,5 mm².

1. Un conducteur : 0,0172 × 18 / 2,5 ≈ 0,1238 Ω ; boucle : 0,2477 Ω.
2. Chute de tension : 0,2477 × 2,5 ≈ 0,619 V (2,6 %).
3. Tension aux rubans : 24,0 − 0,619 ≈ 23,38 V.

Conclusion : 23,38 V ≥ 23,0 V, l’exigence est respectée avec une marge d’environ 0,38 V. On retient le 2,5 mm².

4. Longueur maximale en 1,5 mm². La chute admise est 24,0 − 23,0 = 1,0 V, donc la résistance de boucle maximale vaut 1,0 V / 2,5 A = 0,40 Ω. Comme la boucle vaut 2 × ρ × L / S : L_max = 0,40 × 1,5 / (2 × 0,0172) ≈ 17,4 m. Les 18 m dépassent cette limite, ce qui confirme la question 2.

5. Pertes et hypothèse. Pertes dans le câble : en 1,5 mm², 0,4128 × 2,5² ≈ 2,58 W ; en 2,5 mm², 0,2477 × 2,5² ≈ 1,55 W.

L’hypothèse de la question 1 est que les rubans reçoivent 24 V. En réalité, ils reçoivent un peu moins, donc le courant réel est légèrement différent (il dépend de l’électronique des rubans). L’écart de tension est de quelques pour cent : l’erreur sur le courant est du même ordre, ce qui ne change pas la conclusion. C’est un bon réflexe de dire l’hypothèse dans la note de calcul.

1. Loi des nœuds au nœud N. Le courant qui arrive est égal à la somme des courants qui repartent : I = I₁ + I₂ + I₃. Donc I₃ = I − I₁ − I₂ = 2,38 − 1,50 − 0,48 = 0,40 A.

2. Nombre de relais. n = 0,40 A / 0,050 A = 8 relais. Le résultat entier confirme la cohérence des relevés.

3. Loi des mailles. En parcourant la maille dans le sens du courant (G1, câble aller, E1, câble retour) : U_G − U_aller − U_E1 − U_retour = 0. Donc U_E1 = 24,0 − 0,15 − 0,15 = 23,70 V.

4. Même tension. E1, E2 et E3 sont branchés entre les deux mêmes nœuds (la ligne +24 V après le câble aller et la ligne 0 V avant le câble retour) : ils sont en parallèle et ont donc la même tension, 23,70 V, si l’on néglige les fils très courts entre les départs.

5. Résistance du câble aller et puissance de l’automate.

• Le câble aller est traversé par le courant total de 2,38 A : R = U / I = 0,15 V / 2,38 A ≈ 0,063 Ω.
• Puissance de l’automate : P = U_E1 × I₁ = 23,70 V × 1,50 A ≈ 35,6 W.

1. Les erreurs du brouillon.

2. Un protocole corrigé (exemple de rédaction).

1. Préparation (Inès) : rassembler le schéma de la boîte, les valeurs attendues (24 V, 2,50 A) et la plage admise (20,4 V à 28,8 V) ; préparer la fiche de relevés.
2. Désignation (chargé de travaux) : Fabrice Delorme désigne une personne habilitée par Calvérac pour ces mesures et vérifie que l’appareil (multimètre et pince) a une catégorie de mesure et une tension assignée adaptées à l’armoire, et qu’il est en bon état.
3. Tension (personne habilitée) : mesure de la tension en dérivation aux bornes X1:1 et X1:2 de la boîte, boîte en fonctionnement normal.
4. Courant (personne habilitée) : mesure du courant absorbé par la boîte avec la pince ampèremétrique sur le conducteur +24 V du câble W1.
5. Résistance d’une bobine (personne habilitée) : uniquement après mise hors tension du circuit selon la procédure de l’entreprise (chapitres U6-01 et U6-02), mesure à l’ohmmètre.
6. Relevés (personne habilitée, puis Inès) : noter les valeurs, puis Inès les exploite et les compare aux valeurs attendues.

3. Une fiche de relevés exploitable. « Noter les valeurs » ne suffit pas pour exploiter et valider une mesure. Il faut aussi noter : la date et le nom de la personne habilitée ; le point de mesure exact (repères X1:1, X1:2) ; l’appareil utilisé (référence, calibre, précision de la notice) pour calculer l’incertitude ; les conditions (boîte en marche, nombre de distributeurs actifs) ; la valeur attendue et l’écart constaté.

1. Forme de la caractéristique. Les points sont alignés sur une droite décroissante : la tension baisse régulièrement quand le courant augmente. On propose le modèle du générateur réel : U = E − r × I.

2. Détermination de E et r.

• Régression linéaire (calculatrice, modèle y = a x + b, avec x = I et y = U) : a ≈ −0,0490 V/A et b ≈ 25,60 V. Donc E ≈ 25,60 V et r ≈ 0,049 Ω (r est l’opposé de la pente). Les écarts entre les mesures et la droite ne dépassent pas 0,006 V.
• Deux points extrêmes : E = U(0) = 25,60 V ; r = (25,60 − 25,21) / (8 − 0) = 0,39 / 8 ≈ 0,0488 Ω.

Les deux méthodes donnent presque le même résultat. La régression utilise tous les points, elle est moins sensible à une erreur sur un seul relevé : c’est la méthode à préférer.

3. Une batterie. En série, les résistances internes s’ajoutent : r_bloc = 2 × r_batterie, donc r_batterie ≈ 0,049 / 2 ≈ 0,0245 Ω (environ 25 mΩ). De même, chaque batterie a une force électromotrice d’environ 25,60 / 2 = 12,80 V.

4. Prévision à 9 A. U = 25,60 − 0,049 × 9 = 25,60 − 0,441 ≈ 25,16 V. C’est une extrapolation : 9 A est juste au-delà des relevés, le résultat reste vraisemblable.

5. Bilan à 8 A (avec le modèle).

• Tension du modèle : U = 25,60 − 0,049 × 8 = 25,208 V.
• Puissance fournie à la charge : U × I = 25,208 × 8 ≈ 201,66 W.
• Puissance perdue dans r : r × I² = 0,049 × 8² = 0,049 × 64 ≈ 3,14 W.
• Puissance totale : E × I = 25,60 × 8 = 204,8 W.
• Bilan : 201,66 + 3,14 = 204,80 W. Avec la tension mesurée (25,21 V), on trouve 201,68 W : l’écart vient des arrondis.

6. Limites du modèle. Le modèle n’est plus valable, par exemple :

• quand la batterie se décharge : E diminue et r augmente avec le temps de décharge ;
• pour des courants très supérieurs aux relevés (le modèle ne permet pas d’extrapoler loin, encore moins jusqu’au court-circuit) ;
• quand la température change (r augmente au froid) ou quand la batterie vieillit.

1. Évaluation de type A.

1. Moyenne : (478 + 482 + 480 + 479 + 483 + 481) / 6 = 2 883 / 6 = 480,5 Ω.
2. Écart-type expérimental (fonction de la calculatrice, N − 1 au dénominateur) : s ≈ 1,87 Ω.
3. Incertitude-type de la moyenne : u(R) = s / √6 = 1,87 / 2,449 ≈ 0,76 Ω.
4. Résultat : R = (480,5 ± 0,8) Ω.

2. Compatibilité. Écart normalisé : z = |480,5 − 480| / 0,764 ≈ 0,65. z est inférieur à 1 : la mesure est compatible avec la valeur nominale. Tolérance de la notice : 480 Ω ± 10 %, soit de 432 Ω à 528 Ω ; 480,5 Ω est largement dans cette plage. La bobine est conforme.

3. Évaluation de type B.

1. Demi-largeur : a = 0,005 × 23,62 + 2 × 0,01 = 0,1181 + 0,02 = 0,1381 V.
2. Incertitude-type : u(U) = a / √3 = 0,1381 / 1,732 ≈ 0,080 V.
3. Résultat : U = (23,62 ± 0,08) V.

4. Courant. I = U / R = 23,62 V / 480,5 Ω ≈ 0,049 16 A ≈ 49,16 mA.

5. Incertitude sur le courant.

1. Incertitudes relatives : u(U) / U = 0,0797 / 23,62 ≈ 0,0034 (0,34 %) ; u(R) / R = 0,764 / 480,5 ≈ 0,0016 (0,16 %).
2. u(I) / I = √(0,0034² + 0,0016²) ≈ 0,0037 (0,37 %).
3. u(I) = 0,0037 × 49,16 mA ≈ 0,18 mA.
4. Résultat : I = (49,16 ± 0,18) mA.

C’est la mesure de tension qui contribue le plus (0,34 % contre 0,16 %). Pour améliorer le résultat, il faudrait un voltmètre plus précis, pas davantage de mesures de résistance.

1. S’approprier. La distribution 24 V transporte de l’énergie de l’alimentation G1 vers les équipements : elle fait partie de la chaîne de puissance, au même titre qu’un départ moteur, avec sa source, sa protection F1 et ses câbles. Mais les équipements qu’elle alimente (automate, détecteurs, relais, signalisation) acquièrent, traitent et transmettent des informations : ils forment la chaîne d’information de la ligne, qui ne fonctionne pas sans cette énergie.

Les trois exigences à vérifier sont :

• une réserve d’au moins 25 % sur le courant de l’alimentation (annexe 1) ;
• une tension aux bornes de chaque équipement dans la plage de sa notice, ici de 20,4 V à 28,8 V pour BJ-PAL (annexes 1 et 4) ;
• des conducteurs en cuivre d’une section d’au moins 1,5 mm² (annexe 1).

2. Courants (loi des nœuds).

3. Choix de l’alimentation.

1. Courant minimal exigé : 5,08 A × 1,25 = 6,35 A.
2. L’alimentation de 5 A est insuffisante (elle serait même dépassée sans réserve). On retient l’alimentation 24 V, 10 A, la plus petite de la gamme qui dépasse 6,35 A.
3. Taux de charge : 5,08 A / 10 A = 50,8 %.

4. Câble W1 en 1,5 mm².

1. Un conducteur : R = 0,0172 × 35 / 1,5 ≈ 0,4013 Ω.
2. Boucle aller-retour : 2 × 0,4013 ≈ 0,8027 Ω.
3. Chute de tension : ΔU = 0,8027 Ω × 2,50 A ≈ 2,007 V (environ 8,4 % de 24 V).
4. Tension aux bornes de BJ-PAL (loi des mailles) : U = 24,0 − 2,007 ≈ 21,99 V.

21,99 V est compris entre 20,4 V et 28,8 V : l’exigence est respectée, avec une marge de 21,99 − 20,4 ≈ 1,59 V.

5. Validité à 40 °C.

1. Coefficient multiplicateur : 1 + 0,00393 × (40 − 20) = 1 + 0,0786 = 1,0786.
2. Résistance de boucle : 0,8027 × 1,0786 ≈ 0,866 Ω.
3. Chute de tension : 0,866 × 2,50 ≈ 2,16 V.
4. Tension aux bornes de BJ-PAL : 24,0 − 2,16 ≈ 21,84 V, marge ≈ 1,44 V.

L’exigence reste respectée. Mais la marge est modeste : une baisse de tension de l’alimentation ou une augmentation de la consommation de la boîte (ajout d’un distributeur) la réduirait encore. Le modèle « ρ à 20 °C » était légèrement optimiste.

6. Améliorer la marge.

• Section de 2,5 mm² : boucle 2 × 0,0172 × 35 / 2,5 = 0,4816 Ω ; chute 0,4816 × 2,50 ≈ 1,20 V ; tension aux bornes de BJ-PAL ≈ 22,80 V (marge d’environ 2,4 V à 20 °C).
• Autre solution : l’annexe 3 indique une tension de sortie réglable de 24 à 28 V. On peut relever légèrement la tension de sortie (par exemple à 25 V). Précaution : tous les équipements de l’armoire, qui sont près de G1 et ne subissent presque pas de chute de tension, recevraient cette tension plus élevée. Il faut vérifier qu’elle reste dans leur plage (notices de l’automate, des relais, des colonnes) et que le pont diviseur de surveillance du 24 V, s’il existe, reste compatible avec son entrée. Le réglage est fait à la mise en service par une personne habilitée.

La solution la plus robuste est la section de 2,5 mm², qui réduit aussi les pertes.

7. Puissances et énergie (câble de 1,5 mm²).

1. Puissance fournie par G1 : P_u = 24,0 V × 5,08 A = 121,92 W.
2. Pertes dans W1 : 0,8027 Ω × (2,50 A)² ≈ 5,02 W (elles font partie des 121,92 W fournis).
3. Puissance absorbée sur le réseau : P_a = 121,92 / 0,92 ≈ 132,5 W ; pertes de G1 ≈ 10,6 W.
4. Énergie annuelle : 132,52 W × 8 760 h ≈ 1 160 900 Wh ≈ 1 161 kWh.
5. Coût (prix fictif) : 1 161 kWh × 0,16 €/kWh ≈ 186 € HT par an.

Commentaire : le rendement de 92 % est donné à pleine charge. Or G1 n’est chargée qu’à environ 51 %. Le rendement réel à cette charge peut être différent, souvent un peu plus faible : la puissance absorbée et le coût calculés sont probablement un peu sous-estimés. Il faudrait la courbe de rendement de la notice pour affiner.

8. Conclusion de la note de calcul (exemple).

Le courant total des consommateurs 24 V de l’armoire ARM-L3 est de 5,08 A ; avec la réserve de 25 % du CCTP, il faut 6,35 A : nous retenons une alimentation 24 V de 10 A, chargée à environ 51 %. En 1,5 mm², la boîte BJ-PAL recevrait 21,99 V à 20 °C et 21,84 V à 40 °C, dans la plage admise (20,4 V à 28,8 V) mais avec une marge réduite. Nous proposons un câble W1 de 2,5 mm² (22,80 V à 20 °C). Consommation estimée : environ 1 160 kWh par an, soit environ 186 € HT au prix retenu.

À la mise en service, la tension réelle aux bornes de BJ-PAL sera mesurée par une personne habilitée par Calvérac pour cette opération, avec un multimètre de catégorie de mesure adaptée à l’armoire (chapitres U5-02, U6-01 et U6-02). Inès comparera la mesure, avec son incertitude, à la valeur calculée.